Vektory: označenie a základné pochopenie. Vektory na ЄDI z matematiky
1. Dodatok. Nech a a b sú dva vektory. V prítomnosti určitého bodu sa zavedie vektor OA = a a v prítomnosti bodu A vektor AB = b. BB vektor sa nazýva súčeta+ bvector_v a a b (obr.6) a operáciou poznania súčtu vektora_v je ich skladanie.
Overte, či je sčítanie vektorov správne, tzn. súčet vektorov leží pri voľbe bodu O. Za ktorý môžeme vziať ďalší bod Q a pridať vektor QC = a і CD = b. Oskіlki QC = OA = a, pre znamienko rovnosti dvoch vektorov (1.8) sa predpokladá, že OQ = AC. Podobne pri rovnosti AB = CD = b vidíme, že AC = BD. Tiež, OQ = BD, і, opäť zastosovuyuchi podpísať (1.8), môžeme vziať OB = QD, ktorý je potrebné priniesť (obr. 7).
Priamo z označenia súčtu dvoch vektorov v pravidle navíjania tricutnika:
(2.1) pre ľubovoľné tri body O, A a B OA + AB = OB.
Okrem toho, podľa stredoškolského kurzu geometrie, pre akékoľvek tri body O, A a B dĺžka vіdrіzka OB nepreváži súčet vіdzhin vіdrіzkіv OA a AB a rovnomernosti |OB| = | OA | + |AB| dosiahnuť iba jeden, ak bod A leží na vіrіzku [OB]. Tsyu nerіvnіst sa často nazýva nerіvnіstyu trikutnik. Označenie vektorového súčtu vám umožňuje písať jogu vo vektorovej forme:
(2.2) | a + b | |a| + | b | .
Rarita (2.2) je prístupná len a len vtedy, ak sú vektory a a b spoluriadené, a inak je nerovnosť suvorim. Rekordná vyrovnanosť | a + b | = | a | + | b | za viac vektorov, nehorázne pardon.
2. Hlavná mocenská štruktúra vektorov. Pred nimi prineste:
(C1) Pre ľubovoľné tri vektory a, b a c (a+b)+c = a+(b+c) (asociativita).
(С2) Pre ľubovoľné dva vektory a a b platí a+b = b+a (komutativity).
(C3) Pre ľubovoľný vektor a +0 = a.
(C4) Pre ľubovoľné dva body A a B platí: AB + BA = 0.
O Vzhľadom na zostávajúcu mocninu sa vektory BA a AB nazývajú opačné. Vektor opačný k vektoru a je označený "-a".
Sila (C3) a (C4) škrípu bez prerušenia podľa pravidiel trikutnika (prehodiť!). S cieľom priniesť (C2), v prítomnosti dovilnoy bodu, pridáme vektor OA = a і OS = b, a v bode A - vektor AB = b (obr. 8). Oskіlki OS = AB, pre znak ekvivalencie dvoch smerníc je posadnuté, že OA = CB. Ale OA \u003d a, do toho CB = a. Teraz, podľa trikotového pravidla, vektor OB môže byť jak і OA + OB = a + b, jak і OS + CB = b + a. Vyjdite von, čo a + b = b + a = OS, čo bolo potrebné priniesť.
Prinášame výkon (C1). Pre ktoré postupne pridávame vektor OA = a, AB = b a BC = c. Na účely pridania vector_v (a + b) + c = OB + BC a a + (b + c) = OA + AC. Ale OB + BC \u003d OA + AC \u003d OS (obr. 9).
S úctou, na obrOC = AB. To je správne
(2.3) Pravidlo rovnobežníka: Súčet nekolineárnych vektorov a a b sa rovná uhlopriečkam OB rovnobežníka OABS na základe vektorov 2 OA = a a OC = b.
Navyše, z vyššie uvedeného vyplýva dôkaz asociatívnosti
(2.4) Bagatokutnikovo pravidlo. Vzlykajte, aby ste dali dohromady vetvičku vektorov, zobratých v poradí, musíte ich poskladať jeden po druhom tak, aby koniec kožného vektora slúžil ako klas útočného, teda klas prvého s koncom zvyšok.
Priniesli sme pravidlo len pre prvé tri vektory, ale vedené zrkadlenie je možné ľahko preniesť na ľubovoľný počet dodankivov.
P črepy na nulovom rovnom navíjači klas zbіgaєtsya z kints, z pravidiel bagatokutnik vitikaє korisne
(2.5) Pravidlo uzavretého kopí. Súčet počtu vektorov sa rovná nule a je rovnaký, ak po poslednom z nich je smrad udusený uzávermi dýzy, potom. koniec zvyšku klíči klasom prvého.
(2.6) Správne. Prineste pravidlo rovnobežnostena: ak chcete pridať tri vektory, ktoré nie sú rovnobežné s jednou rovinou, musíte ich pridať z toho istého bodu Pro, získať tri koľajnice, ako sa to stalo, k hranolu a nakresliť z bodu O uhlopriečke rovnobežnosten, takže budete shukanoy (obr.1) .
Asociativita skladania vektorov ukazuje, že súčet troch vektorov, prevzatých z prvého rádu, sa nedá akumulovať, pretože prvé dva vektory pridáme na zadnej strane a potom k nim pridáme tretí, alebo poznáme súčet druhý a tretí vektor na zadnej strane a potom pridáme prvý k prvému . Tse znamená, že môžeme napísať súčet troch vektorov ako a + b + c bez toho, aby sme sa museli starať o to, ako usporiadať ramená. Na kurze algebry sa ukáže, že aj keď je moc víťazná pre tri dodankіv, je víťazná pre ľubovoľný počet z nich, takže môžeme bez obáv o spôsob umiestnenia ramien zapísať, či súčet vektorov je a + b + c + .. .+ d. A sila komutatívnosti (C2) ukazuje, že môžeme tiež, bez toho, aby sme zmenili cenu sumy, radšej preusporiadať dodanki v nej. Kto má zmysel pre asociatívnosť a komutatívnosť.
3 . Vidnіmannya vektorіv. Rozdiel a–b vektor_v a a b je taký vektor x, že x+b = a. Operácia poznania maloobchodných vektorov sa nazýva їх vіdnіmannyam.
Pripočítané k čiastočnému bodu vektora OA=a a OB=b. Je zrejmé, že s jedným vektorom, ktorý je súčtom OB dáva OA, je є vektor BA. takýmto spôsobom,
(2.7) ak existujú dva vektory, existuje rozdiel a je ich viac. Na prebudenie je potrebné zahrnúť vektory a v jednom bode a na konci druhého s koncom prvého (obr. 11).
Z poznamenávame tiež, že obr. 11 VA = BO + OA. Tse znamená čo
a–b = a+(–b).
Inými slovami, pozrite sa na jeden vektor v druhom - je to všetko rovnaké, takže dajte prvý vektor s vektorom opačným k druhému.
Nech sú vektory a a b nekolineárne. Rovnaké bodky, A a B tvoria trikot. Ako sa dostať na rovnobežník OASV, potom na novú uhlopriečku
nakreslite súčet a + b a uhlopriečku
- Maloobchod a-b (obr. 12). Toto nie je doplnenie pravidla rovnobežníka.
Rovnosť (2.8) sa dá dosiahnuť algebraicky. Ak x = a+(–b) , potom x+b = a+(–b)+b = a+0 = a. Je tiež možné algebraicky ukázať, že neexistujú žiadne iné hodnoty pre rozdiel a–b: x+b = a (x+b)+(–b) = a+(-b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(-b) x = a + (-b). Všetky transformácie sme presne zapísali do správy, aby sme ukázali, že špirálovito vychádzajú z hlavnej mocenskej štruktúry (C1) - (C4) (spätne!). V globálnej teórii vektorových priestorov, ako ste sa naučili z kurzu algebry, sa hodnoty sily berú ako axiómy skladania vektorov, proteo iných síl skladania sa považuje za ich.
4. Reprodukcia vektora číslom. Násobenie vektora číslom sa nazýva operácia pridania vektora k číslu. Pridanie nenulového vektora a k číslu x je vektor, ktorý sa označuje ako „ha“ a uspokojuje budúce dve myšlienky:
(P1) | ha | = | x | | a | ; (P2) ha a, áno x 0, ja ha a, áno x<0.
Pridanie nulového vektora k číslu be-yak pre označenie sa rovná 0.
Umovej (P1) zostáva veľtrh a preX= 0, ale umova (P2)<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).
S úctou, sho ha \u003d 0 |ha| = 0 |x||a| = 0 |x| = 0 chi |a| = 0 X = 0 alebo = 0. znamená,
(2.9) zväčšenie vektora o číslo sa rovná nule a potom, ak je buď číslo, alebo sa vektor rovná nule.
Nech sa dáta nerovnajú nule x a vektoru a. Vіd prevіlnoї bod O vіdklademo vektoreVÔL= ha. Oskіlki vectori a i ha vinnі buti kolіnearnimi, vіdrіzok
je vinný z toho, že leží na priamke (OA), ako dovzhina za mysľou (P1) je vinný z do_vnyuvati |x||a|. Existujú presne dva takéto vetry, navyše jeden z nich (nazývaný joga
) sp_rovnania
a druhá (nazývaná joga
) narovnania
(Obr.13). Otoč sa, kým nevieš (P2), bachimo, šo
=
pre x > 0 i
=
pri x< 0.
T Podľa nejakej hodnosti, či je možné vektor vynásobiť číslom, a výsledok je jednoznačne priradený.
K hlavným mocninám je násobenie vektorov v číslach dané takto:
(U1) Pre ľubovoľný vektor a 1a = a (takže násobenie 1 nezmení vektor).
(Y2) Pre ľubovoľné čísla x, y a vektor platí a x(ya) = (xy)a (asociativita).
(Y3) Pre ľubovoľné čísla x, y a vektor a (x + y) platí a = xa + ya (distributivity násobenia náhodne sa skladajúcich čísel).
(Y4) Pre ľubovoľné číslo x ta vektor_v a ta b x(a + b) = xa + xb (distributívnosť násobenia ako zložiť vektor_b).
Po prvé, úrady kričia bez sprostredkovateľských stretnutí (preklopte to!). Dôkazy iných nájdete na stranách 14-16 L.S. Atanasyan a V.T. Basilov "Geometria" (časť 1).
Je príznačné, že sila násobenia vektora číslom:
(2.10) Keďže vektor a je nenulový, potom a/|a| - Smer s vektorom jeden vektor. 3
Pravda, vektory a a a/|a| spoluriadený (bo 1/|a| > 0) a |a/|a|| = | a | / | a | = 1.
(2.11) (-1)a = -a.
Určite, na účely vynásobenia vektora počtom vektorov (-1) a і sú proporcionálne narovnané a їх sú rovnaké.
5. Znaky kolinearity.
(2.12) Znamienko kolinearity vektora nenulového vektora. Vektor b je kolineárny s nenulovým vektorom a, ale tiež len vtedy, ak existuje také číslot, že b =ta. Ak áno, vektory i b sú kosmerné, potom t = |b| / | a |, a ak je smrad priamo vpred, potom t = – |b| / | a |.
Už sme určili, že vektory a ta sú vždy kolineárne. Späť, vezmite nenulový vektor a kolineárny vektor yomou b. Keďže smrad je spoluriadený, dajme t = |b|/|a|. Todi | ta | = | t | | a | = (|b|/|a|)|a| = |b|, і je vektor ta smerov z a, tiež і z b. Otec, ta = b po znamení 1.7. Yakshcho dobre b, dajme t = - | b | / | a |. ja viem |ta| = | t | | a | = (|b|/|a|)|a| = |b|, a vektory ta a b, narovnané pozdĺž vektora a (H5) sú vzájomne nasmerované. Takže som správnym smerom = b.
Ochranka proti tomu, že vektor a je nenulový, niekedy nie je po ruke. Todi vie vikoristati napr
(2.13) Znak kolineárnosti dvoch vektorov. Dva vektory sú kolineárne rovnaké a iba rovnaké, ak je jeden z nich viditeľný cez druhý pre dodatočné vynásobenie číslom.
Pre argumentáciu, ak sa jeden z dvoch daných vektorov nerovná nule, urobili sme viac. No, ak sú urážlivé vektory nula, potom sú v prvom rade kolineárne, ale iným spôsobom, či jeden z nich môže byť prevzatý z väčšieho počtu, nech je to číslo, aby bolo všetko dobré týmto spôsobom. .
6. Zachovanie paralelizmu na hodinu operácií s vektormi.
(2.14) Lema o paralelizme. Ak existujú dva vektory a rovnobežné priamky (roviny), potom sú tieto priamky (roviny) rovnobežné s ich súčtom. Ak je vektorom rovnobežná priamka (roviny), potom je priamka (roviny) rovnobežná s týmto jedným a tým istým číslom.
Nech sú vektory a a b rovnobežné s danou priamkou (plochou). Pridáme k plnému bodu O vektora a OA = a i AB = b. Rovnaké body A a B tiež ležia na priamke (rovine). Neskôr existujú і vіdrіzok OV, čo predstavuje súčet a + b, čo znamená rovnobežnosť tejto priamky (plochy).
Vіzmemo teraz, či číslo x і vіdklademo vіd ієї zh bodov O vektor OS = xa. Ak a = 0, potom i xa = 0 a nulový vektor je rovnobežný, či už ide o priamku alebo rovinu. Ak nie, potom OS, ktorý predstavuje vektor xa, leží na priamke OA, a teda i na priamke (rovine). Tim sám vektor ha bude rovnobežný s priamkou (plochý).
Vstup
S istotou môžeme povedať, že málokomu na tom záleží, že vektory nám tu dajú pocítiť a pomôžu nám v každodennom živote. Pozrime sa na situáciu: Chlapec spoznal starostlivosť dievčaťa na dvesto metrov od svojho stánku. Chi znaydut smrad sám jeden? Zvichayno, nі, na to mladý muž zabudol povedať smut: rovný, tobto vedeckým spôsobom - vektor. Ďalej, v procese práce na tomto projekte, prinesiem viac neosobných nie menej ako tucet vektorových aplikácií.
Vzagali, rešpektujem, že matematika je najväčšia veda, v známom nie sú žiadne kordóny. Tému o vektoroch som si vybral nie vágnym spôsobom, ešte viac ma zaujali tí, ktorí pod pojmom „vektor“ chápali ďaleko za hranice jednej vedy a samotnej matematiky a boli sme prakticky skrіz. V tomto rangu je kožný človek vinný ušľachtilosťou, čo je vektor, myslím, že táto téma je ešte aktuálnejšia. V psychológii, biológii, ekonómii a iných vedách sa chápe pojem „vektor“. Dokladnіshe o tse som rozpovіm pіznіshe.
Cieľom tohto projektu je začať pracovať s vektormi, vminnya bachiti je neporovnateľná s veľkým, premena úctivého prostredia na nadbytočný svet.
História ospravedlnenia chápe vektor
Jedným zo základných chápaní modernej matematiky je vektor. Vývoj chápania vektora bol inšpirovaný širokou škálou chápania chápania vektora v rôznych oblastiach matematiky, mechaniky a tiež techniky.
Vektor nového matematického konceptu. Samotný pojem „vektor“ sa prvýkrát objavil v roku 1845 u írskeho matematika a astronóma Williama Hamiltona (1805 – 1865) vo svojej práci o numerických systémoch, ktoré zaviedli komplexné čísla. Hamiltonova lož a výrazy "skalar", "skalar tvir", "vector tvir". Mayzhe vodnochas іznі dlіdzhennya yоu priamo, аlѕо іnshоgo vіv vіv nemetsky matematik Herman Grassman (1809 - 1877). Angličan William Clifford (1845 – 1879) priblížil v rámci globálnej teórie dva prístupy, medzi ktoré patrili predovšetkým vektorové výpočty. A zvyškový zrak sa prebudil v praxi amerického fyzika a matematika Josiaha Willarda Gibbsa (1839 - 1903), ktorý v roku 1901 vydal veľkú príručku vektorovej analýzy.
Koniec minulého storočia sa niesol v znamení širokého rozvoja vektorových výpočtov a jogových doplnkov. Bola vytvorená vektorová algebra a vektorová analýza, celá teória vektorového priestoru. Tieto teórie zvíťazili v prípade podnietenia špeciálnej a všeobecnej teórie obsahu vody, yak zohráva dôležitú úlohu v modernej fyzike.
Vyčíta sa tam koncept vektora, doprava ho privádzajú predmety, ktoré sa vyznačujú hodnotou toho priamo. Napríklad niektoré fyzikálne veličiny, ako je sila, rýchlosť, zrýchlenie a iné, sú charakterizované ako číselné hodnoty a th priamo. Pri prepojení s cym sú priradené fyzikálne hodnoty vizualizované manuálne rovnými čiarami. Vіdpovіdno do nových programov matematiky a fyziky pochopiť vektor sa stal jedným z provіdnі pochopiť školský kurz matematiky.
Vektory v matematike
Vektor sa nazýva rovnanie vіdrіzok, čo je klas a koniec.
Vektor s klasom v bode A a koncom v bode B znamená AB. Vektory môžu byť tiež označené malými latinskými písmenami, nad ktorými je napríklad šípka (іноді - risochkoy).
Vektor geometrie je prirodzene priradený k prenosu (paralelný prenos), čo samozrejme objasňuje podobnosť názvu jogy (latinsky vektor, čo nosíš). Pokožka vzpriamovania ramien sa totiž jedinečne prejavuje ako rovnobežná s presunom roviny alebo priestoru: napríklad vektor AB prirodzene znamená presun, keď sa bod A pohybuje do bodu, teda späť, paralelný prenos, keď sa A presunie do, znamená jediné narovnanie ramien AB .
Dĺžka vektora AB sa nazýva dĺžka vektora AB її zazvichay označujú AB. Úloha nuly stredného vektora je nulový vektor, v ktorom klas a koniec zbіgayutsya; yoma, z pohľadu iných vektorov, nie je priamo pripisovaná tomu istému.
Dva vektory sa nazývajú kolineárne, pretože ležia na rovnobežných čiarach alebo na jednej čiare. Dva vektory sa nazývajú ko-smerové, pretože sú kolineárne a narovnané v jednom smere, ako aj narovnané, pretože sú kolineárne a smerujú na rôzne strany.
Operácie na vektoroch
modulový vektor
Modul vektora AB je číslo, ktoré je najdôležitejšou hodnotou podsekcie AB. Označuje sa ako AB. Vypočítané pomocou súradníc, napríklad:
Skladacie vektory
Pre danú súradnicu by mal súčtový vektor ísť k súčtu daných súradníc dodatkov:
)(\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_(y)+b_(y),a_(z)+b_(z) ))
Pre vektor geometrického súčtu (\displaystyle(\vec(c))=(\vec(a))+(\vec(b)))c = rôzne pravidlá (metódy) vyskúšajte všetky, aby ste dosiahli rovnaký výsledok. Vikoristannya toho chi іnshoy pravidlo bráni zavdannya, scho rozvyazuєtsya.
trikotové pravidlo
Trikutnikovo pravidlo je najprirodzenejší spôsob, ako pochopiť vektor ako prenos. Ako si viete predstaviť, výsledok následného umiestnenia dvoch pomlčiek (displaystyle (vec (a))) a (displaystyle (vec (b))), každý bod bude rovnaký ako úľ jedného spojovníka (displaystyle (vec ( a) ))+(\ vec (b))), ktorá sa riadi týmto pravidlom. Ak chcete zložiť dva vektory (\displaystyle (\vec (a))) a (\displaystyle (\vec (b))), podľa pravidla trikotu sa vektory a vektory prenesú navzájom rovnobežne tak, že klas jedného z nich je kombinovaný s koncom druhého. Potom je vektor sumi nastavený treťou stranou trikutnika, ktorý je tvorený, navyše ucho klasu prebieha s klasom prvého vektora a končí koncom ďalšieho vektora.
Toto pravidlo je priamo a prirodzene zagalnyuєtsya pre skladanie ľubovoľného počtu vektorov, ktoré prechádzajú do lamanské pravidlo:
Bagatokutnikovo pravidlo
Klasik iného vektora ide s koncom prvého, klas tretieho - s koncom druhého a tak ďalej, súčet (\displaystyle n) vektor_vo vektore, s klasom, ktorý ide s uchom prvý a koniec, ktorý ide s koncom (\displaystyle n) th (To je znázornené priamym vetrom, ktorý žmurká na lamana). Hovorí sa tomu aj lamanské pravidlo.
Pravidlo paralelogramu
Ak chcete zložiť dva vektory (štýl zobrazenia (vec (a)) a (štýl zobrazenia (vec (b))), podľa pravidla rovnobežníka sa vektory aj vektory samy o sebe posúvajú paralelne, takže ich klasy sú rozbité. Potom sa k uhlopriečke rovnobežníka, ktorý sa na nich indukoval, priradí sumi vektor, ktorý by mal vyjsť z pôvodného klasu.
Pravidlo paralelogramu je obzvlášť výhodné, ak je potrebné zobraziť súčtový vektor naraz, pridáme ho do rovnakého bodu, na ktorý sa vzťahuje urážka dodanki - na zobrazenie všetkých troch vektorov, ktoré môžu spôsobiť divé ucho. .
Vidnіmannya vektorіv
Pre otrimannya raznitsі v súradnicovej forme je potrebné zadať súradnice vektorov vіdpovіdnі:
, (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_(y)-b_(y),a_(z)-b_(z) ))
Na odčítanie vektorovej maloobchodnej hodnoty (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))) sa klas vektora_v zmenší o klas vektora (\displaystyle (\ vec (c))) skončí (\displaystyle (\vec (b))) a end - end (\displaystyle (\vec (a))). Ak chcete zapísať zakrivené body vektorov, potom AC-AB=BC(\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).
Násobenie vektora číslom
Vynásobením vektora (\displaystyle (\vec (a))) číslom (\displaystyle \alpha 0) získate kosmerný vektor s dĺžkou (\displaystyle \alpha) krát viac. Vynásobením vektora (\displaystyle (\vec (a))) číslom (\displaystyle \alpha , pričom vektor x bude mať dĺžku (\displaystyle \alpha ) krát viac). číslo:
(\displaystyle \alpha (\vec (a))=(\alpha a_(x),\alpha a_(y),\alpha a_(z)))
Skalárny doboot vector_vskalárne
Skalárny výtvor je číslo, ktoré vyjde pri vynásobení vektorového vektora. Poznať vzorec:
Skalárnu televíziu možno poznať cez tucet vektorov a tak ďalej medzi nimi. Preťaženie vektorov v moderných vedách Vektory vo fyzike Vektory sú namáhavým nástrojom matematiky a fyziky. Môj vektor formuluje hlavné zákony mechaniky a elektrodynamiky. Aby ste pochopili fyziku, musíte sa naučiť cvičiť s vektormi. Vo fyzike, podobne ako v matematike, je vektor hodnotou, ktorá sa vyznačuje svojimi číselnými hodnotami a priamo. Vo fyzike existuje niekoľko dôležitých veličín, ktorými sú vektory, napríklad sila, poloha, rýchlosť, zrýchlenie, moment, čo obalí, hybnosť, sila elektrického a magnetického poľa. Vektory v literatúre Hádajme príbeh Ivana Andrijoviča Krilova o tých, ako „labuť, rakovina, šťuka, vzali to s batožinou“. Príbeh potvrdzuje, že „veci a nevýhody sú tam“, inými slovami, že sa rovnajú všetkým aplikovaným silám, kým zaťaženie síl nedosiahne nulu. A sila, ako viete, je vektorová veličina. Vektory v chémii
Myšlienka, že chemická reakcia je vektor, bola často vyvolaná skvelými nápadmi. Zagalom, ak rozumiete „vektoru“, viete si predstaviť, či je to skutočná vec. Vektor zobrazuje diyu alebo jav, ktorý sa dá jasne narovnať v priestore a v konkrétnych mysliach, čo sa zdá byť jeho veľkosťou. Smer vektora y v priestore je naznaen kutmi, ktor sa ustanovuj medzi vektorom a sradnicovou osou a dlkou (hodnotou) vektora su sradnice klasu a klasu.
Tvrdenie, že chemická reakcia je vektor, však bolo stále nepresné. Nasledujúce pravidlo slúži ako základ pre toto tvrdenie: „Nech je to chemická reakcia, ktorá je podobná priamke v priestore s aktuálnymi súradnicami, ako je množstvo prejavov (modlitieb), masy obsyagiv“.
Všetky priame chemické reakcie musia prechádzať cez klas súradníc. Či už je to priamo v priestore, nezáleží na tom, ako vektory, ale úlomky priamej chemickej reakcie prechádzajú klasom súradnicového systému, potom môžeme akceptovať, že vektor priamej chemickej reakcie je na samotnej priamke. a nazýva sa polomerový vektor. Klas tohto vektora zbіgaєtsya z klasu súradnicového systému. Otzhe, je možné vyvinúť netriviálnu vysnovku: či už ide o chemickú reakciu, vyznačuje sa tým, že sa stane vektorom vo vesmíre. Vektory v biológii
Vektor (v genetike) - molekula nukleovej kyseliny, väčšinou DNA, ktorá víťazí v genetickom inžinierstve pri prenose genetického materiálu do iných buniek.
Vektory v ekonomike
Jednou z oblastí vyššej matematiky je lineárna algebra. Її Prvky sú široko zastosovuyutsya pіd hіvіshennya raznomanіtnyh zavdan ekonomіchnogo charakter. Okrem toho dôležité miesto prepožičiava pochopenie vektora.
Vektor je usporiadaná postupnosť čísel. Čísla vektora za číslom sekvencie sa nazývajú zložky vektora. Je príznačné, že vektory môžu byť ako prvky akejkoľvek povahy, zocrema a ekonomické. Predpokladajme, že textilná továreň dokáže vyrobiť jednu výmenu 30 súprav posteľnej bielizne, 150 uterákov, 100 domácich kabátov, potom môžem urobiť program pre túto továreň ako vektor, de všetko, čo továreň dokáže vyrobiť, je centrálny vektor.
Vektory v psychológii
V tento deň existuje veľké množstvo informačných zdrojov pre sebapoznanie, priamu psychológiu a sebarozvoj. A nie je dôležité mať na pamäti, že takáto neporovnateľná priama cesta si získava čoraz väčšiu popularitu, ako napríklad psychológia systémových vektorov, v ktorej je 8 vektorov.
Vektory pre každodenný život
Stratil som rešpekt, že ma vektory, okrim exaktných vied, učia každý deň. Takže napríklad po hodine chôdze v parku som si spomenul, že sa ukazuje yalina, môžete ju vidieť ako zadok vektora v priestore: spodná časť je klas vektora a vrchol stromu je koniec vektora. A slová z obrázkov vektora nám pri pohľade na skvelé obchody pomáhajú poznať ďalší deň a ušetriť hodinu.
Vektorové dopravné značenie.
Dnes kráčajúc okolo domu sa stávame účastníkmi cestnej premávky ako chodec v úlohe vody. V našej hodine je praktické mať auto, s ktorým, ako viete, sa nemôžete dostať do bezpečia všetkých účastníkov cestnej premávky. Aby som sa vyhol incidentom na ceste, varto dotrimuvatis všetky pravidlá cestnej premávky. Nezabúdajte však, že v živote sú všetci vzájomne prepojení a v najjednoduchších znakoch cestnej premávky, čo trestať, môžeme použiť dopravné šípky, v matematike, s vektormi. Čísla šípok (vektorov) nám ukazujú smer zákruty, strany zákruty, strany kola a mnohé ďalšie. Všetky tieto informácie sa dajú prečítať na dopravných značkách na uzbeckých cestách.
Višňovok
Základným pojmom „vektor“ sa pozrieme na ďalšiu hodinu matematiky na školách a základom vzdelávania v odboroch globálna chémia, globálna biológia, fyzika a iné vedy. Sledujem potrebu vektorov v živote, pomôcť vám poznať potrebný objekt, ušetriť hodinu, smrad funkciu v dopravných značkách.
Višnovki
Pokožka človeka sa v každodennom živote neustále lepí na vektory.
Vektory sú nevyhnutné pre rozvoj matematiky a iných vied.
Kozhen možno vie, čo je vektor.
Dzherela
Bashmakov M.A. Čo je vektor? -2. pohľad., Err. - M.: Kvant, 1976.-221s.
Vigodsky M.Ya. Dovіdnik elementarnej matematiky.-3. pohlad., Ster. - M: Veda, 1978.-186.
Gusyatnikov P.B. Vektorová algebra v aplikáciách a úlohách.-2. tvar., ster.- M.: Vishcha school, 1985.-302s.
Zajcev V.V. Elementárna matematika. Opakovaný kurz.-3.druh., ster.- M.: Nauka, 1976.-156s.
Kokseter G.S. Nové zuby s geometriou.-2nd view., Ster. - M: Veda, 1978.-324s.
Pogorelov A.V. Analytická geometria. - 3. pohľad., Ster. - M: Kvant, 1968.-235.
Nareshti, moje ruky išli do veľkých a dovgoochіkuvano tems. analytická geometria. Hrsť troch o tomto delení vyššej matematiky. Bezpochyby ste okamžite uhádli priebeh školskej geometrie s numerickými teorémami, ich dôkazmi a tiež stoličkami. Čím zaujať, nenávisť a pre značnú časť žiakov často neinteligentný predmet. Niet divu, že analytická geometria môže byť prístupnejšia. Čo znamená aplikátor „analytický“? Do úvahy prichádzajú dva vyrazené matematické obraty: „grafická metóda riešenia“ a „analytická metóda riešenia“. Grafická metóda. Analytický a metóda odovzdanie čerešničky na rande príliš dôležité pre ďalšie algebraické procesy. V spojení s cim je algoritmus na riešenie prakticky všetkých úloh analytickej geometrie jednoduchý a prehľadný, často presne vyplní požadované vzorce - a dôkaz je pripravený! No, samozrejme, bez kresla sa nezaobídeme, dovtedy sa ich pre najlepšie pochopenie materiálu pokúsim podľa potreby poukázať.
Kurz geometrie si nenárokuje, že je teoreticky úplný, ale rieši praktické úlohy. Do mojej prednášky zaradím len tie, ktoré sú podľa mňa dôležité pre praktické účely. Ak potrebujete ďalšie objasnenie, aký druh vývoja, odporúčam vám prejsť na celú dostupnú literatúru:
1) Bohatý, s ktorým bez šklbania poznáme šproty generácie: Shkіlniy podruchnik z geometrie, autor - L.S. Atanasyan and Company. Tsya vešiak školských sporov už videl 20 (!) Videné, že, samozrejme, nemám hranice.
2) Geometria v 2 zväzkoch. Autor L.S. Atanasyan, Bazilov V.T.. Potrebujete celú literatúru pre vašu školu prvý zväzok. Z môjho poľa úsvit vidí úlohu, ktorú málokedy omráči, a hlavný pomocník môže poskytnúť neoceniteľnú pomoc.
Urazené knihy je možné bezplatne zakúpiť na internete. Okrem toho môžete vyhrať moje archívy z hotových riešení, ktoré môžete poznať na boku Využite skvelú matematiku.
Z inštrumentálnych nástrojov sa budem šíriť, ale stále mám silu expandovať - softvérový komplex z analytickej geometrie, ktorá má zmysel odpustiť životu a ušetriť množstvo hodiny.
Je potrebné poznamenať, že čitateľ pozná základné geometrické pojmy a útvary: bod, priamka, rovina, tricutnik, rovnobežník, rovnobežnosten, kocka atď. Bazhano si zapamätajte starú vetu, ak chcete Pytagorovu vetu, naštepte ju na iných rečníkov)
Postupne sa pozrieme na: pojem vektor, chápanie vektorov, súradnice vektora. Odporúčam prečítať najdôležitejší článok Skalárny doboot vector_v, ako aj i Vector a zm_shany tv_r vector_v. Nebudem zavoi a miestna zavdannya - Rozpodil vіdrіzka v tsomu vіdnoshnі. Na základe viscerálnych informácií môžete zvládnuť zarovnanie rovných čiar na rovine h s najjednoduchšími zadkamičo dovoliť naučiť sa zvládnuť úlohu geometrie. Okrem toho ide o tie isté články: Rovinnosť plochy v blízkosti priestoru, Rivnyannya priamka v otvorenom priestore, Základné úlohy na priamke a rovine, ďalšie delenie analytickej geometrie. Prirodzene, je prirodzené pozerať sa na typické úlohy.
Vektor konceptu. Vilnijský vektor
Na zadnej strane hlavy je opakovateľný do školy vektora. Vektor volal rovnanie vіdrіzok, pre ktorého sú objednané jogínske klasy a kіnety:
V čase klasu je vіdrіzka bodka a koniec vіdrіzka je bodka. Samotný vektor hodnoty cez . rovno ak je hodnota dôležitá, ak zmeníte usporiadanie šípky na ďalší koniec riadku, uvidíte vektor a potom zovsim іnshiy vektor. Pojem vektor sa dá ľahko odlíšiť od pohybu fyzického tela: počkajte minútu, vstúpte do dverí ústavu alebo vyjdite von z dverí ústavu – celý prejav.
Okremi bodov lietadla, otvoreného priestoru ručne tak voláme nulový vektor. Takýto vektor má koniec a klas.
!!! Poznámka: Tu a ďaleko môžete zvážiť, či vektory ležia v jednej rovine alebo či páchnu v priestore - podstata materiálu, ktorý je zobrazený, platí pre plochu a pre priestor.
Označenie: Je to veľa ľudí, ktorí si raz uctili palicu bez šípu v znaku a povedali, dajte šíp na zviera! Správne, môžete to zapísať šípkou: , ale i je povolené záznam. prečo? Možno, takýto zvuk vznikol z praktických mirkuvanov, moje šípy v škole a VNZ vyzerali ako iné kalibre a chlpaté. V primárnej literatúre by sa nemalo klamať klinovým písmom, ale vidieť písmená tučným písmom:
To bola štylistika, ale teraz o spôsoboch zaznamenávania vektorov:
1) Vektory je možné písať dvoma veľkými latinskými písmenami:
a doteraz. S kým prvé písmeno obov'azkovo označuje bod-klas vektora a druhé písmeno - bod-koniec vektora.
2) Vektory sa tiež píšu malými latinskými písmenami:
Zocrema, náš vektor môže byť prepracovaný na štýl s malým latinským písmenom.
Dovzhina alebo modul nenulového vektora sa nazýva dvojitý klin. Hodnota nulového vektora sa rovná nule. Logika.
Dĺžka vektora je označená znamienkom modulu: ,
Ako poznať hodnotu vektora, vieme (alebo opäť, pre koho je jaka) trochu rok.
Boli to elementárne informácie o vektore, známe všetkým školákom. V analytickej geometrii tituly voľný vektor.
Je to ešte jednoduchšie - vektor je možné vložiť do ľubovoľného bodu:
Takéto vektory sa nazývali rovné (označenie rovnakých vektorov bude uvedené nižšie), ale čisto z matematického hľadiska je pohľad JEDEN A TEN ISTÝ VEKTOR resp. voľný vektor. Prečo vіlny? Aby ste v priebehu obradu mohli „aplikovať“ ďalší vektor na BE-YAKU, budem od vás potrebovať bod plochy alebo priestoru. Tse duzhe cool power! Odhaliť vektor úplne rovnej čiary - je možné „klonovať“ nespočetne veľakrát a v akomkoľvek bode priestoru v skutočnosti existujú chyby. Є takýto študentský príkaz: Kožnému lektorovi do zadku vo vektore. Aje nie je len teplý Rím, všetko je matematicky správne – vektor sa dá ovládať a hotovo. Ale neponáhľajte sa, často trpia aj samotní študenti.
Otzhe, voľný vektor– ce bez tváre rovnaké priame čiary. Shkіlne označenie vektora, uvedené na klase odseku: „Vektor je názov réžie vіdrіzok ...“, môže byť na pokraji konkrétne narovnanie rúk, pričom z tsієї multiplikátor, ako väzby na spev bod roviny alebo priestoru.
Ak je z pohľadu fyziky pochopenie voľného vektora nesprávne, pointa správy vektora môže byť významná. Rozhodne priamy úder rovnakej sily do nosa a čela, aby sa mi rozvinul hlúpy zadok, čo malo rôzne následky. ut, nesprávne vektory a zustrіchayutsya a v priebehu vyshmata (nechoďte tam :)).
Dії z vektorov. Kolinearizmus vektorov
Školský kurz geometrie má niekoľko pravidiel a pravidiel z vektorov: sčítanie podľa pravidla tricutnika, sčítanie podľa pravidla rovnobežníka, pravidlo o rozdiele vektorov, násobenie vektora číslom, skalárne sčítanie vektora a in. Pre siatie opakujeme dve pravidlá, ktoré sú obzvlášť dôležité pre úlohu analytickej geometrie.
Pravidlo skladania vektorov po pravidle trikov
Pozrime sa na dva pomerne nenulové vektory i:
Je potrebné poznať súčet týchto vektorov. Prostredníctvom tých, ktoré všetky vektory a vvazhayutsya vіlnimi, vіdklademo vektor vіd kintsya vektor:
Sumoyu vector_v i є vektor. Pre krátke pochopenie pravidla vložte do nového dotsilno fyzickú zmenu: nechajte telo prelomiť cestu vektorom a potom vektorom. Potom súčet vektorov je vektorom výslednej dráhy s klasom v mieste podania a koncom v mieste príchodu. Podobné pravidlo je formulované pre ľubovoľný počet vektorov. Ako sa zdá, telo môže ísť svojou vlastnou cestou silno pozdĺž cikcaku a možno aj na autopilota - podľa výsledného sumi vektora.
Pred rečou, ako vektor reči na klase vector , potom weide je ekvivalentné s paralelogramové pravidlo pridávanie vektorov.
Poznámka o kolinarite vektorov. Volajú sa dva vektory kolineárne yakscho smrad ležať na jednej priamke alebo na rovnobežných čiarach. Zhruba zdanlivo ide o paralelné vektory. Alestosovy z nich, zavzhd vikoristovuyut prikmetnik "kolіnearnі".
Ukážte dva kolineárne vektory. Keďže šípky týchto vektorov sú narovnané rovnakým smerom, tieto vektory sa nazývajú s narovnávaním. Ako budú šípy žasnúť na rôznych stranách, vektory budú opačne narovnaný.
Označenie: kolineárnosť vektorov je zapísaná s primárnym znamienkom rovnobežnosti: v takom prípade je detailovanie možné: (vektory sú spoluriadené) alebo (vektory sú narovnávané opačne).
Tvorom nenulového vektora číslom є taký vektor, ktorý je drahší, navyše vektory і sú spolusmerované a opačne smerované na .
Pravidlo pre násobenie vektora číslom je ľahko pochopiteľné pre ďalšiu maličkosť:
Poďme sa na to pozrieť bližšie:
1) Rovné. Keďže multiplikátor je záporný, potom vektor zmeniť priamo na úseku.
2) Dovzhina. Ak je multiplikátor umiestnený v hraniciach alebo , potom dĺžka vektora zmeniť. Takže dĺžka vektora vdvіchі menšia ako dĺžka vektora . Ak je multiplikátor za modulom väčší ako jedna, potom dĺžka vektora zväčšiť sa na čas.
3) Aby som vrátil rešpekt, scho všetky vektory sú kolineárne s jedným vektorom výrazov cez druhý, napríklad . späť tezh veľtrh Ak jeden vektor môže prechádzať cez druhý, potom takéto vektory musia byť kolineárne. Týmto spôsobom: ak vektor vynásobíme číslom, uvidíme kolineárne(Po dohode cez víkend) vektor.
4) Smerové vektory. Vektory sú tiež narovnané. Bez ohľadu na to, či sa vektor prvej skupiny protilenálne narovnáva alebo nie, či je alebo nie je vektor inej skupiny.
Ktoré vektory a є sú rovnaké?
Dva vektory sú rovnaké, ako keby sa smrad narovnal a môže byť stále rovnaký. Rešpektujte, že spoločné smerovanie vyjadruje kolineárnosť vektorov. Vymenovanie bude nepresné (nadbytočné), ako keby povedal: "Dva vektory sú rovnaké, ako keby boli kolineárne, narovnané a môžu mať rovnakú dovzhinu."
Pri pohľade na pochopenie voľného vektora sú rovnaké vektory tým istým vektorom, ktorý už bol v predchádzajúcom odseku.
Vektorové súradnice v rovine a vo vesmíre
Prvým bodom je pozrieť sa na vektory na byte. Je možné znázorniť kartézsky pravouhlý súradnicový systém osamelé vektor a ta:
Vektory a ortogonálne. Ortogonálny = kolmý. Odporúčam pomaly volať k pojmom: námestník rovnobežnosť a kolmosť vikoristovuemo vydpovidno slov. kolinearitaі ortogonality.
Označenie: Ortogonalita vektorov sa píše so symbolom kolmosti, napr.: .
Vektory, ktoré sa pozerajú, pomenované súradnicové vektory alebo orts. Dani vectori upokojiť základ na byte. Čo je základ, myslím, intuitívne pochopený bohato, podrobnejšie informácie nájdete v článku Lineárny (ne)úhor vektorov. Základy vektorov.Jednoducho povedané, základ a klas súradníc nastavujú celý systém - akýsi základ, na ktorom je vonkajší a najgeometrickejší život.
Niekedy je základ tzv ortonormálny základ oblasti: "orto" - čriepky súradnicových vektorov a ortogonálne, "normalizačný" príklad znamená jednoduchý, tzn. Dovzhina vektorіv základ dorіvnyuє oditsі.
Označenie: zapíšte si základ na okrúhle spánky, stredné v poradí suvoris pererakhovuyutsya základné vektory, napríklad: . Súradnicové vektory nemôže preusporiadať missyami.
Be-jaky plochý vektor jednu hodnosť objaviť sa pri pohľade:
, de - čísla yaki sa nazývajú vektorové súradnice na akom základe. A samotný Viraz volal vektorové rozloženiezáklad .
Podávaná večera:
Začnime prvým písmenom abecedy: . Z kresla je dobre vidieť, že sa dobre pozerá na rozloženie vektorov podľa základu vikoristu:
1) pravidlo násobenia vektora číslom: i;
2) skladanie vektorov podľa trikotového pravidla: .
A teraz premýšľajte o pridaní vektora k tomu, či sú v rovine nejaké ďalšie body. Je celkom zrejmé, že toto usporiadanie je „nemožné ho nasledovať“. Vyhraná os, vektor slobody – vektor „nosiť všetko so sebou“. Tsya vlastіst, zrozumіlo, poslušný pre akýkoľvek vektor. Je smiešne, že samotné základné (vilni) vektory neukazujú súradnice na klase; Je pravda, že nie je potrebné takto pracovať, črepy z vikladach môžu tiež ukázať originalitu a immalyu ste poistení na nesprávnom mieste.
Vektory, presne ilustrujú pravidlo násobenia vektora číslom, vektor smerov so základným vektorom, vektor smerov až po základný vektor. Tieto vektory majú jednu zo súradníc rovnú nule, čo možno stručne zapísať takto:
A základné vektory pred rečou sú nasledovné: (v skutočnosti sa smrad vyjadruje sám cez seba).
І nakoniec: , . Pred prejavom, aká je vízia vektora a prečo som nepovedal o pravidle vektora? Tu, v lineárnej algebre, si už nepamätám, všímam si, čo vidím - je to veľa fluktuácií. Takže rozloženie vektorov "de" a "e" je pokojne napísané ako sumi:, . Preusporiadajte dodanki s miestami a prostegte za kreslami, pretože v týchto situáciách je jasné, že staré dobré skladanie vektorov sa riadi pravidlom trikutnik.
Pozrite sa na rozloženie iné názvy pre rozloženie vektora v systéme ort(Takže v systéme jednotlivých vektorov). Neexistuje však jediný spôsob, ako napísať vektor, rozšírenia útočnej možnosti:
Abo so znakom žiarlivosti:
Samotné základné vektory sú zapísané takto: i
To znamená, že pre okrúhle ramená sú priradené súradnice vektora. Pri praktických úlohách existujú tri možnosti nahrávania.
mám pochybnosti, chi, ale aj tak poviem: súradnice vektorov sa nedajú preusporiadať. Suvoro na prvom mieste zapíšeme súradnicu, ako keby to bol jeden vektor, suvoro na inom mieste zapíšeme súradnicu, ako keby to bol jeden vektor. Pravda, ja sú dva rôzne vektory.
Z súradnice na štvorci boli zoradené. Teraz sa pozrime na vektory v triviálnom priestore, tu je to praktické! Bude zadaná iba jedna súradnica. Trivimirnі kreslennya vykonuvat je dôležité, aby som bol obklopený jedným vektorom, ktorý pre jednoduchosť vložím do klasu súradníc:
Be-jaky vektorový trivivírusový priestor je možný jednosmerka usporiadať na ortonormálnom základe:
, de - Súradnice vektora (čísla) v danom základe.
Príklad z obrázku: . Zamyslime sa nad tým, ako tu fungujú pravidlá vektorov DIY іz. Najprv vynásobte vektor číslom: (červená šípka), (zelená šípka) to (malinová šípka). Iným spôsobom je pred vami zadok pridávania kіlkoh, niekedy troch, vektorov: . Vektor sumi začína na výstupnom bode smeru (vektorový klas) a drží sa na mieste príchodu vrecka (vektorový koniec).
Všetky vektory trivimerového priestoru, prirodzene, tezh volnі, vyskúšajte nápady umiestniť vektor do bodu vіd be-yakoy іnshої a pochopíte, že rozloženie joga sa stratí na novom.
Podobne ako pri plochom páde, trestný čin široko potvrdené verzie s okovami: abo.
Ak má rozloženie jeden (alebo dva) súradnicové vektory, ich nahradenie by malo byť nastavené na nulu. Použiť:
vektor (škrkavo ) - Poďme si zapísať;
vektor (škrkavo ) - Poďme si zapísať;
vektor (škrkavo ) - zapíšme si to.
Bázové vektory sú zapísané takto:
Axis, možno a všetky minimálne teoretické znalosti, potrebné riešenia pre úlohu analytickej geometrie. Je možné, že výrazy a význam sú príliš bohaté, odporúčam čajníkom znovu prečítať a pochopiť tieto informácie. Že th be-yakoy chitachevi bude korisno іnоdі znatatisya až po základnú lekciu pre najlepšie zvládnutie materiálu. Kolіnearnіst, ortogonalita, ortonormálny základ, rozloženie vektora - to sú body a iné, ktoré sa často chápu na diaľku. Podotýkam, že materiály stránky nestačia na poskladanie teoretickej miestnosti, kolokvia z geometrie, takže všetky vety starostlivo kódujem (predtým bez dôkazu) - v zlom vedeckom štýle viklad, ale plus pre tvoje pochopenie predmetu. Na účely dokončenia teoretickej správy vás žiadam, aby ste použili odkaz na profesora Atanasjana.
A prejdeme k praktickej časti:
Najjednoduchšia úloha analytickej geometrie.
Dії s vektormi v súradniciach
Zavdannya, ak sa na ne pozrieme, je lepšie naučiť sa písať úplne automaticky a vzorce zapamätaj si, navіt špeciálne si nepamätajte, pamätajte si sami =) Je dôležitejšie, že črepy na najjednoduchších elementárnych zadkoch sú založené na iných úlohách analytickej geometrie a pokryjete ďalšiu hodinu dňa pishakіv. Nie je nutné nosiť vrchné gudziky na košeliach, poznáte množstvo rečí zo škôl.
Príspevok k materiálu na paralelnom priebehu - a rovinnosť a priestor. Toto sú dôvody, prečo vám budú fungovať všetky vzorce.
Ako poznať vektor z dvoch bodov?
Ak sú dané dva body roviny i , potom vektor môže mať rovnaké súradnice:
Ak sú do priestoru i dané dva body, vektor môže mať rovnaké súradnice:
Tobto, zo súradníc konca vektora je potrebné zadať správne súradnice na klasovom vektore.
manažér: Pre samotné body si zapíšte vzorce pre významnosť súradníc vektora. Vzorce ako lekcia.
zadok 1
Sú dané dva body oblasti i. Poznať súradnice vektora
Riešenie: pre konkrétny vzorec:
Ako možnosť môžete bulo vikoristati útočný záznam:
Esteti virishat a takto:
Zvučím najmä k prvej verzii nahrávky.
Návrh:
Nie je potrebné používať kreslo pre myseľ (čo je typické pre úlohu analytickej geometrie), ale s metódou vysvetľovania aktuálnych momentov čajníkom bez nadávok:
Obov'yazkovo musí byť dôvtipný vіdminnіst mіzh súradnice bodu a súradnice vector_v:
Súradnicový bod- Primárne súradnice pravouhlého súradnicového systému. Na súradnicovej rovine sú tuším škvrny, všetko je ešte v 5.-6. Kožný bod sa môže nachádzať na ploche a nie je možné ich nikam posunúť.
Vektorové súradnice- Tse yogo rozloženie na základe, v tejto vipadke. Ak je ľubovoľný vektor voľný, potom je ľahké ho pridať podľa potrieb užívateľa, či už je to akýkoľvek iný bod roviny. Tsіkavo, scho vektorіv môže vzagalі budvavat аsі, pravouhlý súradnicový systém, základ je potrebný len, pre rôzne ortonormalizácie základ oblasti .
Záznamy súradníc bodov a vektorových súradníc sú trochu podobné: , a súradnicový zmysel absolútne rôzne a mali by ste byť dobre informovaní o maloobchode. Tsya vіdminnіst, zrozumіlo, spravodlivé a pre priestor.
Pani a pani, podávame si ruku:
zadok 2
a) Dané body a . Poznať vektory.
b) Dátové body že . Poznať vektory.
c) Dané body a . Poznať vektory.
d) Dané body. Poznať vektory .
Mami, to stačí. Aplikuj to na nezávislé riešenie, snaž sa ich neignorovať, oplat sa ;-). Práca s kreslom nie je potrebná. Riešenia a odporúčania pre lekciu.
Čo je dôležité v čase dokončenia úlohy analytickej geometrie? Je dôležité byť mimoriadne úctivý, aby pánove omilostenie „dva plus dva a nula“ nebolo povolené. Spýtam sa ešte raz, ako keby som mal milosť =)
Ako spoznať dozhina vіdrіzka?
Dovzhina, ako to bolo zamýšľané, je označené znakom modulu.
Ak sú uvedené dva body oblasti i, potom dĺžku vіdrіzka možno vypočítať pomocou vzorca
Ak sú do priestoru i dané dva body, potom je možné dozhina vіdrіzka vypočítať pomocou vzorca
Poznámka: Vzorce by mali byť vyplnené správnymi, aby ste mohli preusporiadať miesta s príslušnými súradnicami: i , ale štandardná prvá možnosť
zadok 3
Riešenie: pre konkrétny vzorec:
Návrh:
Pre presnosť vyčarujem kreslo
Vidrіzok - ce nie je vektor, a presunúť jogu tam, kde, samozrejme, nemôžete. Kreslo si navyše môžete pozrieť v mierke: 1 od. \u003d 1 cm (dva stehy), potom je možné otrimana vіdpovіd prevrátiť výraznou čiarou, bez toho, aby zasahovala do dovejin vіdrіzka.
Riešenie je teda krátke, ale v novom je stále niekoľko dôležitých momentov, ako by som rád vysvetlil:
Prvým spôsobom, v prípade Vіdpovіdі dáme rozmіrnіst: „sám“. V mysli sa nehovorí, SCHO tse, milimetre, centimetre, metre chi kilometre. Na tento účel budú matematicky gramotné riešenia odvážnym vzorcom: „jeden“ - skrátený „jeden“.
Iným spôsobom si zopakujeme stredoškolskú látku, ktorá je nielen otrepaná pre danú úlohu:
Vzdávajte úctu dôležitý technický príjem – chyba násobiteľa koreňa. Výsledkom je, že vypočítame náš výsledok a dobrý matematický štýl prenesie vinu násobiteľa odmocniny z-n_d (čo je možné). Proces prehľadu vyzerá takto: . Je zrejmé, že pohľad vás nemine - ale to rozhodne nestačí a je to dobrý argument na to, aby ste sa vybrali na stranu vikladach.
Os a širšie svahy:
Nie je nezvyčajné vyjsť pod koreň, aby sa napríklad zozbieralo veľké množstvo. Ako mas taketo vipadky? Na kalkulačke je možné overiť, či je číslo deliteľné 4: . Takže to bolo rozdelené na národnej úrovni v takom poradí: . A možno, koľkokrát ísť pridať na 4? . Týmto spôsobom: . Zvyšok čísla má nespárované číslo, takže ho zjavne nie je možné rozdeliť na 4. Pokúšam sa pridať deväť: . Ako výsledok:
Pripravený.
Višnovok: ak odmocnina nevyjde ako číslo, tak skúsime zvaliť vinu na násobiteľa z-pid odmocniny - na kalkulačke je možné skontrolovať číslo podľa: 4, 9, 16, 25, 36, 49 atď. na.
Na konci dňa sú korene koreňov často vyvýšené, vždy sa snažte vyhrať multiplikátory koreňa koreňa, aby ste sa zbavili nižších skóre a nepodstatných problémov doplnením svojich rozhodnutí o rešpekt z vikladach.
Okamžite zopakujme kroky koreňov štvorca a ďalšie kroky:
Pravidlá krok za krokom u inteligentne vyzerajúceho človeka poznáte od stredoškolského asistenta z algebry, ale hádam z ukazovania zadkov je stále všetko jasné.
Úloha pre nezávislú víziu od vіdrіzkom v blízkosti otvoreného priestoru:
zadok 4
Vzhľadom na škvrny i . Know dozhina vіdrіzka.
Riešením je nasledovať príklad z lekcie.
Ako zistiť dĺžku vektora?
Ak je daný vektor plochy, potom sa plocha vypočíta podľa takéhoto vzorca.
Ak je priestoru daný vektor, vzdialenosť sa vypočíta podľa vzorca .
VEKTORY. DIIVYŠŠIEVEKTORY. SCALARNE,
VECTORNIY, ZMIŠANY VIROB VECTORIV.
1. VEKTORY, DII NAD VEKTORMI.
Hlavné stretnutie.
Menovanie 1. Hodnota, ktorá je opäť charakterizovaná svojou číselnou hodnotou vo zvolenom systéme 1, sa nazýva skalárne alebo skalárne .
(Telo Masa, objem, chudnutie za hodinu)
Menovanie 2. Hodnota, ktorá je charakterizovaná číselnými hodnotami a priamo, sa nazýva vektor alebo vektor .
(Pohyb, sila, pohyblivosť atď.)
Podpis: , alebo , .
Geometrickým vektorom je reťaz vyrovnávania rebier.
Pre vektor - bod ALE- Cob, špica O- Koniec vektora.
Menovanie 3.modul vektorom je koruna venca AB.
Menovanie 4. Vektor, ktorého modul sa rovná nule, sa nazýva nula , znamenať.
Stretnutie 5. Vektory nakreslené na rovnobežných čiarach alebo na jednej čiare sa nazývajú kolineárne . Ak dva kolineárne vektory môžu byť úplne rovnaké, potom sa nazýva smrad s narovnávaním .
Stretnutie 6. Dva vektory a rešpekt rovný , ako smrad rovnanie a rovnaké na modul.
Presuňte sa cez vektory.
1) Pridávanie vektorov.
Def. 6.sumoyu dva vektory a є uhlopriečka rovnobežníka na základe týchto vektorov, ktorá by mala vychádzať z rohového bodu stagnácie (Pravidlo rovnobežníka).
Obr.1.
Def. 7. Súčet troch vektorov , , sa na základe týchto vektorov nazýva uhlopriečka kvádra (Pravidlo rovnobežnostena).
Def. osem. Yakscho ALE, O, Z - dosť bodov, potom + = (pravidlo trikovania).
obr.2
Pridávanie výkonu.
1 o . + = + (pohyblivé právo).
2 o . + (+) = (+) + = (+) + (dobrý zákon).
3 o . + (– ) + .
2) Zobraziť vektory.
Def. 9. Pid maloobchod vectorіv a razumіyut vector = - taký, že + = .
V paralelograme - tse іnsha uhlopriečka CD (div. Obr. 1).
3) Reprodukcia vektora číslom.
Def. desať. Tvorom vektor na skalár k nazývaný vektor
= k = k ,
môže dozhina ka , to priamo, ako:
1. zbіgaєtsya z bludný vektor k > 0;
2. Priamo cez vektor, rovnako ako k < 0;
3. dosť k = 0.
Sila násobenia vektora číslom.
1 o . (k + l ) = k + l .
k ( + ) = k + k .
2 o . k (l ) = (kl ) .
3 o . 1 = , (–1) = – , 0 = .
Sila vektorov.
Def. jedenásť. Volajú sa dva vektory i kolineárne ako smrad roztashovani na rovnobežné čiary alebo na jedna priamka.
Nulový vektor je kolineárny s ľubovoľným vektorom.
Veta 1. Dva nenulové vektory kolineárny, ak je tomu úmerný zápach.
= k , k - Skalárne.
Def. 12. Volajú sa tri vektory , , koplanárny yakscho smrad rovnobežne s deyakіy byt alebo ležať blízko neho.
Veta 2. Tri nenulové vektory , , koplanárny, ak jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných dvoch, potom.
= k + l , k , l - Scalari.
Projekčný vektor ako celok.
Veta 3. Projekcia vektora na celok (priamo vpred) l dobutku dobutku dozhini vektor kosínus kuta mіzh priamy vektor a priama os, tobto. = a c os , = ( , l).
2. VEKTOROVÉ SÚRADNICE
Def. 13. Vektorové projekcie na súradnicovej osi Oh, OU, Oz volal vektorové súradnice. Označenie: a X , a r , a z .
Dovzhina vektor:
zadok: Vypočítajte dĺžku vektora.
Riešenie:
Pohyb medzi bodkami і vypočíta sa podľa nasledujúceho vzorca: .
zadok: Nájdite rozdiel medzi bodmi M (2,3,-1) a K (4,5,2).
Дії nad vektormi y súradnicového tvaru.
Je daný vektor = a X , a r , a z і = b X , b r , b z .
1. ( )= a X b X , a r b r , a z b z .
2. = a X , a r , a z, de - Skalárne.
Skalárny vektor vitvir.
stretnutie: Pod skalárnou tvorbou dvoch vektorov, ktoré
rozumієtsya číslo, rovné dobutku dozhin tsikh vectorіv na kosínusu kuta z-pomіzh nich, tobto. = , - Kut medzi vektormi i .
Sila skalárneho stvorenia:
1. =
2. ( + ) =
3.
4.
5. de - skaláry.
6. dva vektory sú kolmé (ortogonálne), tak .
7. viac alebo menej ako keby .
Skalárne otáčanie v súradnicovom tvare môže vyzerať: , de i .
zadok: Poznať skalárny tvіr vektorіv ta
Riešenie:
Vektor vektora.
Vymenovanie: Pod vektorom sa rozumie vytvorenie dvoch vektorov a vektora, pre ktorý:
Modul dodatočnej oblasti rovnobežníka, inšpirovaný týmito vektormi, tobto. , de cut medzi vektormi ta
Tsey vektor kolmých vektorov, ktoré sa násobia, tobto.
Keďže vektory nie sú kolineárne, smrad vyhovuje práve trojici vektorov.
Sila tvorby vektorov:
1.Pri zmene poradia násobiteľov vektorovej TV zmeníte svoj vlastný znak návratu, uloženie modulu, tobto.
2 .Vektorový štvorec sa rovná nule-vektor, tobto.
3 .Skalárny multiplikátor môže byť obviňovaný zo symbolu tvorenia vektora, tobto.
4 .Pre akékoľvek tri vektory je rovnosť spravodlivá
5 . Nevyhnutná a dostatočná mentálna kolinita dvoch vektorov a:
Vektorová televízia v súradnicovom tvare.
Ako poznáte súradnice vektorov, ktoré , potom їхній vektor tvіr je známy podľa vzorca:
.
Označenie vytvorenia vektora je však jasné, pretože plocha rovnobežníka na základe vektorov sa vypočíta podľa vzorca:
zadok: Vypočítajte plochu trikotu s vrcholmi (1; -1; 2), (5; -6; 2), (1; 3; -1).
Riešenie: .
Todi area trikutnik ABC sa počíta takto:
,
Zmishane TV vektor.
stretnutie: Zmishanim (vektor-skalárny) podzložka vektora sa nazýva číslo, pretože je priradená k vzorcu: .
Sila zmiešaného stvorenia:
1. Zm_shane tvir sa nemení pre cyklické permutácie jogy spivmulniki, tobto. .
2. V prípade permutácie dvoch sus_dn_h sp_multipliers pri zmene, tvir zmení svoje opačné znamienko, tobto. .
3 Potrebuje dostatočnú mentálnu koplanaritu troch vektorov. : =0.
4 .Zmіshane tvіr trоkh vektorі v dоrіvnіuіє obsyagu paralepiped, pobudovanі tsіh vectors, brané іѕ znamienko plus, іѕ сі vectori utvіrіyut tііyut tiііyut tіз yut tіз yut tііyku vpravo yu. .
Ako v dome súradnice vektor_v ,
že zmätok tvir je známy pre vzorec:
zadok: Vypočítajte zm_shane tv_r vector_v.
Riešenie:
3. Základ systému vektorov.
Vymenovanie. Pod systémom vektorov je možné pochopiť počet vektorov, ktoré patria do rovnakého priestoru R.
Rešpekt. Keďže systém pozostáva z konečného počtu vektorov, sú označené jedným a tým istým písmenom s rôznymi indexmi.
zadok.
Vymenovanie. Akýkoľvek druh vektora = sa nazýva lineárna kombinácia vektorov. Čísla sú koeficienty lineárnej kombinácie.
zadok. .
Vymenovanie. Ako vektor s lineárnou kombináciou vektorov , potom sa zdá, že vektor je lineárne vyjadrený cez vektory .
Vymenovanie. Vektorový systém je tzv lineárne-štvorcový, aj keď vektor systému nemôže byť lineárnou kombináciou iných vektorov. Iným spôsobom sa systém nazýva lineárny úhor.
zadok. Vektorový systém lineárny úhor, pretože vektor .
Vymenovanie do základu. Vektorový systém vytvára základ, takže:
1) je lineárne nezávislý,
2) či existuje vektor do priestoru, cez ktorý sa lineárne otáča.
príklad 1. Základ pre priestor: .
2. Pre sústavu vektorov báza є vektory: , pretože lineárne prevrátené cez vektory.
Rešpekt. Aby sme poznali základ tohto systému vektorov, je potrebné:
1) napíšte súradnice vektorov do matice,
2) za pomoci elementárnych transformácií priveďte matricu do trikotového vzhľadu,
3) nenulové riadky matice budú základom systému,
4) počet vektorov v základe sa rovná hodnote matice.
VEKTOR
Vo fyzike a matematike je vektor hodnotou, pretože je charakterizovaný priamo svojimi číselnými hodnotami. Vo fyzike existuje niekoľko dôležitých veličín, ktorými sú vektory, napríklad sila, poloha, rýchlosť, zrýchlenie, moment, čo obalí, hybnosť, sila elektrického a magnetického poľa. Їх možno prirovnať k iným hodnotám, ako je hmotnosť, objem, tlak, teplota a šírka, ktoré sa dajú opísať obrovským číslom a nazývajú sa smradové „skaláry“. Vektorový zápis víťazí pri práci s veličinami, keďže viac nemožno žiadať o pomoc veľkých čísel. Napríklad chceme opísať polohu objektu ako spievajúci bod. Vieme povedať, koľko kilometrov od bodu k objektu, ale nevieme presne určiť presnú polohu, nepoznáme priamo doky, v ktorom víne poznáme. V tomto poradí je poloha objektu charakterizovaná číselnými hodnotami (navštívené v kilometroch) a priamo. Graficky sú vektory znázornené ako rovné čiary v priamke, ako na obr. 1. Napríklad, aby bolo možné graficky znázorniť silu piatich kilogramov, je potrebné namaľovať priamou čiarou päť päť pri bik di sile. Šípka ukazuje, že sila je dіє vіd A až B; yakby sila d_yala od B do A, potom sme zapísali abo Pre prehľadnosť sú vektory a zvuky označené tučnými veľkými písmenami (A, B, C atď.); vektory A a -A môžu mať rovnaké číselné hodnoty, ale nie opačné. Číselná hodnota vektora sa nazýva modulo chi a označuje sa A chi |A|. Hodnota je, samozrejme, skalárna. Vektor, klas a koniec niečoho sa nazývajú nula a označujú sa O.
Dva vektory sa nazývajú rovnaké (alebo nie rovnaké), pretože ich moduly sú priamo kombinované. V mechanike a fyzikálnych funkciách je však potrebné chrániť sa, črepy dvoch rovnakých síl, pôsobiacich na rôzne body tela a v divokej depresii vedú k rôznym výsledkom. V spojení s cym vektory sú rozdelené do "pov'yazanі" alebo "kovzayuch" v nasledujúcom poradí: Spojenie vektorov a môže opraviť zastosuvannya body. Napríklad vektor polomeru označuje polohu bodu na pevnom klase súradníc. Vektory sú spojené a vvazhayutsya rovné, ako keby smrad zbіgayutsya ako moduly a rovno, ale aj hlavný bod správy. Zovnіshnіmi vektory sa nazývajú rovnaké vektory, roztashovanny na jednej priamke.
Vektorové úložisko. Myšlienka skladania vektorov vo viniciach spočíva v tom, že môžeme poznať jeden vektor, ktorý môže byť rovnakým prítokom, čo sú dva alebo viac vektorov súčasne. Takže, aby sme sa dostali do koncového bodu, musíme prejsť späť A kilometrov v jednej priamke a potom B kilometrov v ďalšej priamke, potom by sme mohli dosiahnuť náš koncový bod, keď prejdeme C kilometrov na tretej priamke. čiara (obr. 2). Koho zmysel to môžeš povedať
A+B=C.
Vektor C sa nazýva "výsledný vektor" A a B; na vektoroch A a B vznikol po stranách rovnobežník a C je uhlopriečka, ktorá spája klas A a koniec B. Z obr. 2 je vidieť, že sčítanie vektorov je "komutatívne", tzn. A + B = B + A. Podobným spôsobom môžete pridať kropenie vektorov a postupne ich sledovať pomocou "trvalej lancety", ako je znázornené na obr. 3 pre tri vektory D, E a F. 3 Obr. 3 to tiež ukazuje
(D+E)+F=D+(E+F), takže. pridanie vektora asociatívne. Je možné sčítať počet vektorov, navyše vektory nemusia byť nevyhnutne lingvisticky spojené s tým, aby ležali v rovnakej rovine. Vіdnіmannya vektorіv je reprezentovaný ako doplnok k negatívnemu vektoru. Napríklad A - B \u003d A + (-B), de, ako už bolo uvedené, -B je vektor s rovnakým modulom, ale nie protil za priamkou. Toto pravidlo môže byť teraz pridané ako skutočné kritérium pre opätovné overenie, je to jedna hodnota vektora chi ni. Pohybujúce sa zvuky podľa toho, ktoré pravidlo; to isté môžete povedať o swidkosti; sily sa sčítavajú tak samé, ako je možné bulo bachiti z "trikutnika síl." Avšak hodnoty, ktoré možno považovať za číselné hodnoty, tak priamo nezodpovedajú tomuto pravidlu, nemožno ich považovať za vektory. Zadoček je kіntse obal.
Násobenie vektora skalárom.Твір mA alebo Am, de m (m № 0) je skalárny a A je nenulový vektor, je vybraný ako druhý vektor, ktorý prešiel m-krát pre A a môže byť aj priamo A, pretože číslo m je kladné, i je dlhšie, takže m je záporné, ako je znázornené na obr. 4, de m dorivnyuє 2 a -1/2 vіdpovіdno. Zo spodnej strany teda 1A = A. pri vynásobení 1 sa vektor nemení. Hodnota -1A je vektor, ktorý je dlhší čas dlhší ako A, ale ak ide priamo vpred, treba ho zapísať ako -A. Ak A je nulový vektor a (alebo) m = 0, potom mA je nulový vektor. Množné číslo je distributívne, tzn.
Môžeme sčítať množstvo vektorov a poradie sčítania neovplyvní výsledok. Verno a zvorotne: či sa vektor delí na ďalšie dve "zložky", tzn. dva alebo viac vektorov, yak, ktoré sú zložené, v kapacite výsledného vektora poskytnú výstupný vektor. Napríklad na obr. 2, A a B - zložky C. S množstvom matematických úloh s vektormi sa môžeme rozlúčiť tak, že môžeme rozdeliť vektor na tri zložky pre tri navzájom kolmé priamky. Vyberáme správny systém karteziánskych súradníc s osami Ox, Oy a Oz, ako je znázornené na obr. 5. Pod pravou súradnicovou sústavou nemôžeme na pravej ruke, aby sa osi x, y a z dali zošiť tak, že sa to dá zošiť ako veľký, efektný a prostredník pravej ruky. . Z jedného pravého súradnicového systému môžete preniesť ďalší pravý súradnicový systém do rôznych obalov. Na obr. Obrázok 5 ukazuje rozklad vektora A na tri zložky, t.j. v súčte sčítajte vektor A, takže
Otzhe,
Bolo by možné ho zložiť a potom pridať Projekcie vektora A na tri súradnicové osi, znaky Ax, Ay a Az, sa nazývajú "skalárne zložky" vektora A:
de a, b і g - rez medzi A a tromi súradnicovými osami. Teraz zavedieme tri vektory s jednou hodnotou i, j і k (orthy), ktoré môžu byť rovnakou priamkou ako x, y і z. Potom, ak sa Ax vynásobí i, potom odčítanie tvir je vektor rovný i
Dva vektory sú rovnaké a menej rovnaké, ak sa rovnajú rovnakým skalárnym komponentom. Tiež A = B a potom, ak Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Dva vektory možno pridať pridaním ich komponentov:
Okrem toho, za Pytagorovou vetou:
Lineárne funkcie. Viraz aA + bB, kde a a b sú skaláry, sa nazýva lineárna funkcia vektorov A a B. Je to vektor, ktorý je v rovnakej rovine ako A a B; Ak A a B nie sú rovnobežné, tak pri zmene a a b sa vektor aA + bB bude pohybovať po celej rovine (obr. 6). Hoci A, B a C neležia všetky v rovnakej rovine, vektor aA + bB + cC (zmena a, b a c) sa pohybuje v priestore. Predpokladajme, že A, B a C sú jednotlivé vektory i, ja k. Vektor ai leží na osi x; vektor ai + bj sa môže pohybovať po celej ploche xy; vektor ai+bj+ck sa môže pohybovať po celom priestore.
Bolo by možné zvoliť niekoľko navzájom kolmých vektorov i, j, k і l
s dozhina
A dalo by sa pokračovať do piatich, šiestich, počtu úmrtí. Aj keď nie je možné vizuálne odhaliť takýto vektor, neexistujú tu žiadne každodenné matematické ťažkosti. Takýto záznam je často poškodený; napríklad tábor častice, ktorá sa zrúti, je opísaný šesťrozmerným vektorom P (x, y, z, px, py, pz), ktorého zložky sú - її poloha v priestore (x, y, z) a hybnosť (px, py, pz). Takýto priestor sa nazýva "fázový priestor"; ak vidíme dve časti, potom je fázový priestor 12-svetový, ak sú tri, tak 18 atď. Počet veľkostí je možné zvýšiť bez obmedzenia; S touto hodnotou, s kakim mi matimemo vpravo, existuje veľa dôvodov, prečo je to rovnaké, yak tі, yaki mi možno vidieť v časti štátu a samo osebe, trivimirn_ vektory.
Reprodukcia dvoch vektorov. Pravidlo skladania vektorov je odobraté spôsobom zmeny správania veličín reprezentovaných vektormi. Neexistujú žiadne viditeľné dôvody, cez ako dva vektory by nebolo možné žiadnym spôsobom násobiť, proces násobenia snímača je len v tom prípade, pretože je možné ukázať jeho matematickú schopnosť; navyse bazhano, schob tvir mav spev fyzicke zmist. Іsnuyut dva spôsoby násobenia vektorov, yakі vіdpovіdat tsim mysle. Výsledkom jedného z nich je skalár, takýto výtvor sa nazýva „skalárny výtvor“ alebo „vnútorný výtvor“ dvoch vektorov a píše sa ACHB alebo (A, B). Výsledkom ďalšieho násobenia je vektor, ktorý sa nazýva „tvorba vektora“ alebo „vonkajšia tvorba“ a píše sa A*B alebo []. Skalárne výtvory môžu byť fyzickým rozdielom pre jeden, dva alebo tri vimiryuvany, ako aj vektorové vytvorenie určené len pre tri vimiryuvany.
Vytvorte skalárne. Akoby sa pod aktuálnou silou F bod, na ktorý pôsobí, presunie k východu r, potom je robot drahšie obnoviť r a komponent F je priamo r. Komponent Tsya je drahší F cos bF, rc de bF, rc - kut mizh F і r, tobto. Robot Vikonana \u003d Fr cos bF, rc. Toto je príklad fyzického zakotvenia skalárneho výtvoru, priradeného pre ľubovoľné dva vektory A, B pre ďalší vzorec
A * B = AB cos bA, Bc.
Skaláre všetkých hodnôt pravej časti zarovnania sú skaláre, A*B = B*A; Skalárne násobenie je opäť komutatívne. Skalárne násobenie má tiež silu distributívnosti: A*(B + C) = A*B + A*C. Ak sú vektory A a B kolmé, potom cos bA, Bc sa rovná nule, t.j. A*B = 0, inak sa A a B nerovnajú nule. Samo o sebe ho nemôžeme rozdeliť na vektor. Povedzme, že sme rozdelili urážlivé časti A * B = A * C na A. Ak by to dalo b B = C, i, ak by bolo možné vikonovať, potom sa táto rovnosť stala jediným možným výsledkom. Aj keď môžeme prepísať A * B = A * C vzhľadom na A * (B - C) = 0 a hádať, že (B - C) je vektor, je jasné, že (B - C) nie je nevyhnutne lingvisticky rovná nule A potom je na vine B, ale rovná sa C. Výsledky ukazujú, že vektor nepredstaviteľne zlyhal. Skalárne sčítanie poskytuje ešte jeden spôsob, ako zapísať číselnú hodnotu (modul) vektora: A * A = AA * cos 0 ° = A2;
k tomu
Skalárna TV sa dá napísať aj inak. Pre koho môžeme hádať, čo: A \u003d Axe i + Ayj + Azk. Rešpektujeme to
Todi,
Črepy zostávajú rovné x, y і z ako nižšie indexy, rovné, bolo dané b, ležať vo zvolenom špecifickom súradnicovom systéme. Nie je to však tak, ako je zrejmé z vymenovania, aby neležal v oboch súradnicových osiach.
Vytvorenie vektora. Vektor alebo podobná tvorba vektora sa nazýva vektor, ktorého modul je ďalším pripočítaním jeho modulov k sínusu kuta, kolmo na vonkajšie vektory a pripočítaním spolu s nimi k pravým trom. Je jednoduchšie zaviesť tento tvir, pri pohľade na spіvvіdnoshennia medzi shvidkіst a kutovoy swidkіst. persha - vektor; Teraz ukážeme, že zvyšok možno interpretovať ako vektor. Kutova swidkіst tіla, scho zabalenie sa vyznačuje útočnou hodnosťou: vyberme si bod na tіlі a nakreslite kolmicu od stredu bodu k osi obalu. Todіtа kutova shvidkіst tіla - tse počet radiánov, na yakі tsia linke otočenej za jednu hodinu. Yakshko kutova swidkіst - vektor, matka je vinná z číselnej hodnoty, ktorá rovno. Číselná hodnota je vyjadrená v radiánoch za sekundu, môžete si priamo zvoliť os omotania, vypočítate ju nasmerovaním vektora priamo vpred, v ktorom by sa pravotočivá skrutka zrútila, keď narazíte na telo. Pozrime sa na obaľovanie tela dovkol pevnej osi. Ak dáte celý krúžok do stredu krúžku, ak je upevnený na osi na vašej strane, vložený do stredu druhého krúžku, môžeme telo zabaliť do stredu prvého krúžku s vrcholom swidkistyu w1 a potom zmushiti vnútorný golier (іtty wіloz) o Malyunok 7 vysvetľuje podstatu práva; kruhové šípky ukazujú rovné obaly. Celé telo je pevná guľa so stredom Pro a polomerom r.
Ryža. 7. GUĽA SO STREDOM O, obopínajúca sa s vrcholovou šírkou w1 v strede ráfika BC, ako sa svojou čiernou farbou obopína v strede ráfika DE s vrcholom swidkistyu w2. Guľa sa obopína horným vírom, ktorý má bohatší súčet horných vírov a všetky body na priamke POP sú na pokojnom mieste.
Nadamo tіlu ruh, čo je súčet dvoch rôznych trupov shvidkos. Je dôležité ukázať, ktorý nápor dokončiť, ale na dokončenie je zrejmé, že telo už nie je omotané okolo pevnej osi. Prote sa ešte dá povedať, že sa to otočí. Aby sme to ukázali, vyberme si bod P na povrchu telesa, ako v danom momente na veľkom počte bodov, ktoré pretínajú povrch gule v ľubovoľných dvoch osiach. Vynechajte kolmice z P na osi. Ці kolmice sa stávajú polomermi PJ і PK kіl PQRS і PTUW je zrejmé. Nakreslíme priamku, ako keby prechádzala stredom gule. Teraz sa bod P v momente hodiny, na ktorú sa pozeráme, pohne o jednu hodinu pozdĺž kolíkov, akoby sa prilepil k bodu P. Na malý časový interval Dt sa P presunie na druhú
Qia vіdstan dorivnyuє nula, yakscho
Týmto spôsobom je bod P v stave pokoja rukavice a presne tak isto všetky body na priamke POP obal gule, ako koleso, ktoré sa valí v cene v okamihu kože, sa obalí. okolo svojho spodného bodu.
Podľa polomeru stávky r sin w1. Na vymenovanie kutova shvidkіst
З цієї vzorce a spіvvіdnoshennia (1) mi otrimaєmo
Inými slovami, ak si zapíšete číselné hodnoty a priamo zvolíte najvyššiu rýchlosť, ako je popísané vyššie, hodnoty sa sčítajú ako vektor a možno sa na ne takto pozerať. Teraz môžete poslať vektorovú TV; môžeme vidieť telo, ktoré sa zabalí do víru kapoty w. Zvolíme, či bod P na tele je klasom súradníc O, keďže je na osi obalu. Nech r je vektor smerujúci z O do P. Bod P sa zrúti pozdĺž kolíka rýchlosťou V = wr sin (w, r). Vektor rýchlosti V je blízko kolíku a ukazuje priamo vpred, ako je znázornené na obr. osem.
Tsіvnyannja dáva zalezhnі svidnostі bod V vіd vіd vіd vіdіnії tvokh vіvіvі v і r. Vikoristovuєmo tse spіvvіdnoshennia, schob znamenajú nový druh stvorenia, zapisujeme to: V = w * r. Oskіlki výsledkom takéhoto násobenia je vektor, celý tvіr sa nazýva vektor. Pre ľubovoľné dva vektory A a B, ako napríklad A * B = C, potom C = AB sin bA, Bc a smer vektora C je taký, že je kolmý na rovinu, takže prechádza cez A a B. a v priamej línii naznačuje, že prebieha s priamym otočením pravej ovíjacej skrutky, ktorá je rovnobežná s C a obopína sa okolo A až B. Inými slovami, môžeme povedať, že A, B a C, usporiadané v tomto poradí, stanoviť správnu množinu súradnicových osí. Vektor dobootok antikomutatívne; vektor B * A nemôže byť rovnaký modul ako A * B, ale direktívy protilového poľa: A * B = -B * A. Čiara je distributívna, ale nie asociatívna; môže priniesť čo
Zaujímalo by nás, ako sa sčítanie vektorov píše z hľadiska komponentov a jednotlivých vektorov. Teraz, pre akýkoľvek vektor A, A * A = AA sin 0 = 0.
Tiež pre niekoľko jednotlivých vektorov i * i = j * j = k * k = 0 i i * j = k, j * k = i, k * i = j. Todi,
Qiu žiarlivosť možno zapísať aj u majstra:
Ak A * B = 0, potom A alebo B sa rovná 0, alebo A a B sú kolineárne. V tejto hodnosti som ako skalárny výtvor padol na vektor nemožnosti. Hodnota A * B je rovnaká ako plocha rovnobežníka so stranami A a B. Je ľahké bachiť, pretože B sin bA, Bc - výška a A - základňa. Využívajte množstvo iných fyzikálnych veličín, ktorými sú vektorové výtvory. Jedným z najdôležitejších vektorových výtvorov je teoreticky elektromagnetizmus a nazýva sa Poyntingov vektor P. Tento vektor je nastavený takto: P = E * H, kde E a H sú vektory elektrického a magnetického poľa rovnakým spôsobom. Vektor P možno považovať za úlohu pre tok energie vo wattoch na meter štvorcový pre ľubovoľný bod. Pridajme ešte niekoľko aplikácií: moment sily F (krútiaci moment) podľa klasu súradníc, ktorý smeruje k bodu, polomer-vektor, ktorý je r, je priradený ako r * F; časť, scho znahoditsya v bode r, masoyu m і shvidkіstyu V, maє kutovy moment mr * V shodo klas súradníc; sila, ktorá sa pohybuje na časticu, ktorá prenáša elektrický náboj cez magnetické pole B zі shvidkіstyu V, є qV * B.
Skúste tvoriť. Z troch vektorov môžeme vytvoriť nasledujúce tri vektory: vektor (A * B) * C; vektor (A*B)*C; skalárne (A*B)*C. Prvým typom je pridanie vektora C a skalárneho A * B; už sme o takýchto veciach hovorili. Druhý typ sa nazýva vytvorenie základného vektora; vektor A * B kolmý na rovinu, ležať A і B, і k tomu (A * B) * C - vektor, ktorý leží na rovine A і B і kolmice C. jeden A * (B * C). Po zapísaní A, B і C cez їх súradnice (komponenty) pozdĺž osí x, y і z i a vynásobení môžete ukázať, že A * (B * C) = B * (A * C) - C * (A * B ). Tretí typ tvorby, ktorý je obviňovaný z rastu otrepov vo fyzike pevného telesa, je číselne dôležitejší ako objem rovnobežnostena s rebrami A, B, C. Skaláre (A * B) * C = A * (B * C), znaky skalárneho a vektorového multiplikátora môžete meniť mesiace a tvir sa často píše ako (A B C). Tsey tvir dorivnyu vyznachnik
Všimnite si, že (A B C) = 0, ak všetky tri vektory ležia v rovnakej rovine, inak A = 0 alebo (i) B = 0 alebo (i) C = 0.
VEKTOROVÝ ROZDIEL
Predpokladajme, že vektor U je funkciou jednej skalárnej premennej t. Napríklad U môže byť vektor polomeru, nakreslíme z klasu súradníc do bodu, ktorý sa pohybuje, a t - hodina. Nech sa t zmení o malú hodnotu Dt, čím sa hodnota DU zmení na U. Tse je znázornené na obr. 9. DU/Dt je vektor, ktorý ho smeruje priamo, ako DU. Môžeme vypočítať rozdiel medzi U at, ako
pre tvoju myseľ, čo je to taká hranica. Na druhej strane môžete zistiť U ako súčet komponentov pozdĺž troch osí a zaznamenať
Zatiaľ čo U je vektor polomeru r, potom dr/dt je rýchlosť bodu vyjadrená ako funkcia hodín. Odlíšenie po hodine ešte raz, berieme čo najskôr. Predpokladajme, že sa bod pohybuje po krivke znázornenej na obr. 10. Poď s - vystúp, prešiel cez bod zákruty. Natiahnutím malého intervalu na hodinu Dt bod prejde krivkou Ds vdovzh; poloha vektora polomeru sa zmení na Dr. Otzhe, Dr/Ds - vektor narovnávania ako Dr. Dali
Vector Dr - zmena vektora polomeru.
є jeden vektor, scho osuetsya krivky. Je to vidieť zo skutočnosti, že keď sa bod Q priblíži k bodu P, PQ sa priblíži k bodu a Dr sa priblíži k Ds. Vzorce na diferenciáciu tvorby sú podobné vzorcom na diferenciáciu tvorby skalárnych funkcií; črepy sčítania vektora sú však antikomutatívne, poradie násobenia je spôsobené úsporami. Tom,
V tejto kategórii veríme, že ak je vektor funkciou jednej skalárnej funkcie, potom môžeme ukázať to isté rovnakým spôsobom, ako keby to bola skalárna funkcia.
Vektorové a skalárne polia. Gradient. Vo fyzike sú matky často privádzané doprava s vektorovými alebo skalárnymi veličinami, pretože sa v danej oblasti menia z bodu na bod. Takéto oblasti sa nazývajú „polia“. Napríklad skalár môže byť teplotne vyčistený; vektor môže byť swidkistyu rіdini, scho kolapsy, alebo elektrostatické pole systému nábojov. Ak sme prvýkrát zvolili súradnicový systém, potom buď bod P (x, y, z) v danej oblasti musí mať rovnaký polomerový vektor r (= xi + yj + zk) a hodnota vektorovej veličiny U (r) alebo skalár f (r) , viazaný na neho. Predpokladá sa, že U a f sú priradené oblasti jednoznačne; tobto. bod kože má jednu alebo len jednu hodnotu U alebo f, hoci rôzne body môžu mať rôzne hodnoty. Povedzme, že chceme opísať švédčinu, pre ktorú sa U a f menia pri zmene regiónu. Súkromne mi odpustite, takže ako dU / dx a df / dy nie sme pri moci, pretože smrad leží v konkrétnych súradnicových osiach. Je však možné zaviesť vektorový diferenciálny operátor nezávislý od výberu súradnicových osí; Tento operátor sa nazýva "gradient". Dovoľte mi ísť doprava od skalárneho poľa f. Na chrbte ako na zadok sa môžeme pozerať na vrstevnicovú mapu kraja. І tu f - výška nad hladinou mora; vrstevnice spájajú body s jednou a tými istými hodnotami f. Pod hodinou ruhu vzdovzh, či je to s tsikh čiary f sa nemenia; ak sa zrúti kolmo na tieto čiary, rýchlosť zmeny bude maximálna. Môžeme nastaviť vektor bodu kože, ktorý ukazuje hodnotu a priamo maximálnu zmenu rýchlosti f; Takáto mapa a aktivity týchto vektorov sú znázornené na obr. 11. Ak vyberieme body skinu poľa, odoberieme vektorové pole spojené so skalárnym poľom f. Toto je pole vektora nazývaného "gradient" f, ktorý sa píše ako grad f alebo Cf (symbol sa tiež nazýva "nabla").
V troch prípadoch sa obrysové čiary stanú povrchmi. Mužské usunenia Dr (= iDx + jDy + kDz) spôsobujú zmenu f, preto sa píše ako
kde body sú členovia rádov. Tsey viraz možno zaznamenať pri pohľade na skalárny výtvor
Rozdeľme pravú a ľavú časť zostatku na Ds a nedovoľme, aby Ds bolo nulové; tiež
kde dr/ds je jediný vektor y vibrácií priamo. Viraz v blízkosti okrúhlych oblúkov je vektor, ktorý by mal ležať vo forme bodu. V tomto poradí môže byť df / ds maximálna hodnota, ak vám dr / ds povie priamo, viraz, ktorý stojí pri spánkoch, ako gradient. takýmto spôsobom,
- Vektor, ktorý sa rovná hodnote i zbіgaєtsya y priamo s maximálnou rýchlosťou zmeny f shodo súradníc. Gradient f sa často píše ako
Tse znamená, že operátor C je samovysvetľujúci. Pre bohaté druhy vín je ako vektor a v skutočnosti je to „vektorový diferenciálny operátor“ – jeden z najdôležitejších diferenciálnych operátorov vo fyzike. Bez ohľadu na tie, ktoré pomstia jednotlivé vektory i, j і k, nie je možné umiestniť žiadny fyzický objekt do rovnakého súradnicového systému. Aké je spojenie medzi Cf a f? Je pre nás prijateľné, že f znamená potenciál akéhokoľvek bodu. Pri malom posunutí Dr sa hodnota f zmení na
Ak q je hodnota (napríklad hmotnosť, náboj), presunutá na Dr, potom robot, vikonan, keď q bola presunutá na Dr.
Keďže Dr je posunutie, potom qСf je sila; -Сf - Napätie (sila na jednotku kіlkostі), spojené s f. Napríklad, nech U - elektrostatický potenciál; potom E - intenzita elektrického poľa, ktorá je daná vzorcom E = -СU. Predpokladajme, že U je vytvorený bodovým elektrickým nábojom q coulombs, umiestneným na klase súradníc. Hodnota U v bode P (x, y, z) s polomerovým vektorom r je daná vzorcom
De e0 - dielektrický postiyna voľný priestor. Tom
Hviezdy sú jasné, že E je rovno r, že hodnota sa rovná q/(4pe0r3). Keď poznáme skalárne pole, môžeme s ním nájsť súvisiace vektorové pole. Je tiež možné a protilezhne. Z matematického hľadiska je spracovanie skalárnych polí jednoduchšie na obsluhu, nižší vektor, smradové črepy sú dané jednou funkciou súradníc, pričom vektorové pole má tri funkcie, ktoré sú podobné zložkám vektora v troch smeroch. . Týmto spôsobom obviňujeme otázku: prečo je dané vektorové pole, ako môžeme zapísať skalárne pole, ktoré s ním súvisí?
Divergencia a rotor. Získali sme výsledok di ї na skalárnej funkcii. Aké by to bolo zastosúvať C na vektor? Є dve možnosti: nech U(x, y, z) - vektor; potom môžeme urobiť vektor tak, aby nebol rovnaký skalárny s prichádzajúcou hodnosťou:
Prvý z tsikh viraziv je skalár, stupeň divergencie je U (označený divU); druhý je vektor, názvy rotora U (označené rotU). Digitálne diferenciálne funkcie, divergencia a zvlnenie sú široko používané v matematickej fyzike. Ukážte, že ste skutočným vektorom a že v aktuálnom regióne budete v bezpečí. Nech P - bod v galérii, zaostrený malou uzavretou plochou S, ktorá obklopuje objem DV. Nech n - jeden vektor, kolmý na stred povrchu v bode kože (n zmena v priamke v ruštine na povrchu, ale môže byť jeden dozhina); Uveďte n smerníc názvu. Ukážme čo
Tu S označuje, že integrály sú prevzaté cez všetky plochy, da je prvkom plochy S. Pre jednoduchosť zvolíme tvar S pre nás ako malý rovnobežnosten (ako je znázornené na obr. 12) so stranami Dx, Dy a Dz. ; bod P je stredom rovnobežnostena. Vypočítajme integrál zarovnania (4) záhybu na jednej strane kvádra. Pre prednú plochu n = i (samotný vektor rovnobežný s osou x); Da = DyDz. Príspevok k integrálu v prednej časti vozovky
Na proliferačnej ploche n=-i; tento aspekt je zahrnutý v integráli
Podľa Taylorovej vety berieme veľkú zálohu na dve strany
S úctou, DxDyDz = DV. Podobne môžete vypočítať príspevok z dvoch ďalších párov tvárí. Najnovší integrál je viac
a ak môžeme dať DV(r)0, potom sa výraz objaví vo vyššom poradí. Za vzorcom (2) viraz pri oblúkoch - tse divU, aby rovnosť (4). Rivnist (5) možno priviesť len tak. Ponáhľajte sa znova s ryžou. 12; rovnaké vloženie v prednej ploche v integrálnom okraji
І pomocou Taylorovej vety berieme do úvahy, že je možné vidieť celkový príspevok k integrálu z dvoch stien
tobto. v Rivniane sú dvaja členovia rotU virázy (3). Ďalšie štyri členy budú vidieť podľa tvaru nánosov na ostatných štyroch stranách. Čo v skutočnosti znamená tsі spіvvіdnoshennia? Pozrime sa na žiarlivosť (4). Predpokladajme, že U - shvidkіst (napríklad rіdini). Potom nChU da \u003d Un da de Un є normálna zložka vektora U k povrchu. K tomu Un da - tse obsjag r_dini, ktorý preteká cez da jednu hodinu, a tse obsjag rіdini, ktorý preteká cez S jednu hodinu. Otzhe,
Shvidkіst razshirennya dvojhra obsyag okolo bodu P. Zvіdsi divergencia dostal svoje meno; ukazuje rýchlosť, ktorou sa rovina rozťahuje z (do divergencie) P. Aby sme vysvetlili fyzikálny význam rotora U, môžeme sa pozrieť na druhý plošný integrál nad malým valcovým objemom h, ktorý poukazuje na bod P; planparalelné plochy môžu byť orientované akýmkoľvek priamym spôsobom, podľa toho, čo si vyberieme. Dajte k - jeden vektor kolmice na povrch kože a nechajte oblasť povrchu kože DA; rovnaký celkový DV = hDA (obr. 13). Teraz sa pozrime na integrál