Vektörler: atama ve temel anlayış. ЄDI z matematiğinde vektörler
1. Ek. a ve b iki vektör olsun. Belirli bir noktanın varlığında OA = a vektörü ve A noktasının varlığında AB = b vektörü verilir. BB vektörüne toplam denira+ bvector_v a ve b (Şekil 6) ve vector_v toplamını bilme işlemi onların katlanmasıdır.
Vektörlerin eklenmesinin doğru olduğunu doğrulayın, yani. O noktasının seçiminde yatacak vektörlerin toplamı. Bunun için başka bir Q noktası alabilir ve QC = a і CD = b vektörünü ekleyebiliriz. Oskіlki QC = OA = a, iki vektörün (1.8) eşitlik işareti için OQ = AC olduğu varsayılır. Benzer şekilde AB = CD = b eşitliği ile AC = BD olduğunu görüyoruz. Ayrıca, OQ = BD, і, yine zastosovuyuchi işareti (1.8), getirmek için gerekli olan OB = QD'yi alabiliriz (Şekil 7).
Doğrudan tricutnik'in sarma kuralındaki iki vektörün toplamının belirlenmesinden:
(2.1) herhangi bir O, A ve B noktası için OA + AB = OB.
Ek olarak, lise geometri kursuna göre, herhangi bir O, A ve B noktası için, vіdrіzka OB'nin uzunluğu, vіdzhin vіdrіzkіv OA ve AB'nin toplamından ve düzgünlük |OB| = | AE | + |AB| A noktası vіrіzku [OB] üzerinde bulunuyorsa, yalnızca bir tanesine ulaşın. Tsyu nerіvnіst genellikle nerіvnіstyu trikutnik olarak adlandırılır. Vektör toplamının tanımı, vektör biçiminde yoga yazmanıza izin verir:
(2.2) | bir + b | |a| + | b | .
Nadirlik (2.2) yalnızca ve yalnızca a ve b vektörleri birlikte yönlendirilirse erişilebilirdir ve başka şekillerde, eşitsizlik suvorimdir. Denge rekoru | bir + b | = | bir | + | b | daha fazla vektör için, kaba bir af.
2. Vektörlerin ana güç yapısı. Onlardan önce getirin:
(C1) Herhangi üç a, b ve c vektörü için (a+b)+c = a+(b+c) (çağrışım).
(С2) Herhangi iki a ve b vektörü için a+b = b+a (değişebilirlik).
(C3) Herhangi bir vektör için a +0 = a.
(C4) Herhangi iki A ve B noktası için AB + BA = 0.
saat Kalan güce göre BA ve AB vektörleri zıt olarak adlandırılır. a vektörünün karşısındaki vektör "-a" ile gösterilir.
Güç (C3) ve (C4) trikutnik kurallarından kesintiye uğramadan gıcırdıyor (çevirin!). (C2)'yi getirmek için, bir dovilnoy noktasının varlığında, OA = a і OS = b vektörünü ve A noktasına - AB = b vektörünü ekleriz (Şekil 8). Oskіlki OS = AB, iki direktifin eşdeğerlik işareti için OA = CB takıntılıdır. Ale OA \u003d a, bu CB'ye = bir. Şimdi, triko kuralına göre, OB vektörü yak OA + OB = a + b, yak OS + CB = b + a olabilir. Çıkın, ne a+b=b+a=OS, ne getirmek gerekiyordu.
Güç getiriyoruz (C1). Bunun için sırayla OA = a, AB = b ve BC = c vektörünü ekliyoruz. vector_v (a + b) + c = OB + BC ve a + (b + c) = OA + AC eklemek amacıyla. Ale OB + BC \u003d OA + AC \u003d OS (Şekil 9).
Saygılarımızla, Şekil 8'deOK = AB. Doğru
(2.3) Paralelkenar kuralı: Doğrusal olmayan a ve b vektörlerinin toplamı, vektörlere dayalı olarak OABS paralelkenarının OB köşegenlerine eşittir 2 OA = a ve OC = b.
Ek olarak, yukarıdakilerden ilişkiselliğin kanıtı çıkıyor
(2.4) Bagatokutnik kuralı. Bir vektör dalını bir araya getirmek için, sırayla alınan, onları tek tek koymanız gerekir, böylece cilt vektörünün sonu, saldırgan olanın koçanını, yani ilkinin koçanının sonu olarak hizmet eder. geri kalan.
Kuralı yalnızca ilk üç vektör için getirdik, ancak yürütülen yansıtmanın herhangi bir sayıda dodankiv'e aktarılması kolaydır.
P sıfır düz sarıcıdaki parçalar koçanı zbіgaєtsya z kints, z bagatokutnik vitikaє korisne kuralları
(2.5) Kapalı mızrak kuralı. Bir dizi vektörün toplamı sıfıra eşittir ve eğer sonuncusundan sonra pis koku mızrağın kapanmasıyla bastırılırsa, o zaman aynıdır. kalanın sonu, ilkinin koçanıyla birlikte filizlenir.
(2.6) Sağ. Paralel boru kuralını getirin: bir düzleme paralel olmayan üç vektör eklemek için, bunları aynı Pro noktasından eklemeniz, olduğu gibi paralel boruya üç ray almanız ve noktadan itibaren köşegen hakkında çizmeniz gerekir. paralelyüz, yani shukanoy olacaksın (şek.1) .
Vektörlerin katlanmasının ilişkilendirilebilirliği, birinci dereceden alınan üç vektörün toplamının toplanamayacağını gösterir, çünkü ilk iki vektörü arkaya ekledikten sonra üçüncüyü onlara ekledik veya toplamını biliyoruz. arkadaki diğer ve üçüncü vektörler ve sonra birinciyi birinciye ekliyoruz. Tse, kolları nasıl düzenleyeceğimizi düşünmeden a + b + c gibi üç vektörün toplamını yazabileceğimiz anlamına gelir. Cebir sırasında, gücün üç dodankіv için muzaffer olmasına rağmen, herhangi bir sayıda muzaffer olduğu gösterilecektir, bu yüzden kolları yerleştirme şekli hakkında endişelenmeden vektör toplamının olup olmadığını yazabiliriz. a + b + c + .. .+ d'dir. Değişebilirliğin gücü (C2), toplamın fiyatını değiştirmeden, içindeki dodanki'yi yeniden düzenleyebileceğimizi de gösterir. Kim birlik ve değişme duygusuna sahiptir.
3 . Vіdnіmannya vektör. a–b vector_v a ve b farkı, x+b = a olacak şekilde bir x vektörüdür. Perakende vektörlerini bilme işlemine їх vіdnіmannyam denir.
OA=a ve OB=b vektörünün kısmi noktasına eklendi. Açıkçası, OB'nin toplamı olan tek bir vektörle OA verir, є BA vektörüdür. bu şekilde,
(2.7) iki vektör varsa, fark vardır ve birden fazla vardır. Uyanmak için vektörleri dahil etmek ve bir noktada ve diğerinin sonunda birincinin sonu ile birlikte olmak gerekir (Şekil 11).
W ayrıca şek. 11 VA = BO + OA. ne anlama geliyor
a–b = a+(–b).
Başka bir deyişle, ikincideki bir vektöre bakın - hepsi aynı, bu yüzden ilk vektörü vektörü diğerinin karşısına gelecek şekilde yerleştirin.
a ve b vektörleri doğrusal değil. Aynı noktalar, A ve B bir triko yapar. OASV paralelkenarına, ardından yeni köşegene nasıl gidilir
a + b toplamını ve köşegeni çizin
- Perakende a-b (Şekil 12). Bu paralelkenar kuralına bir ek değildir.
Eşitlik (2.8) cebirsel olarak getirilebilir. Gerçekten de, eğer x = a+(–b) ise, o zaman x+b = a+(–b)+b = a+0 = a. a–b: x+b farkı için başka bir değerin olmadığını cebirsel olarak göstermek de mümkündür. = a (x+b)+(–b) = a+(-b) x+(b+(–b)) = a+(–b) x+0=a+(-b) x = bir + (-b). Ana güç yapısından (C1) - (C4) (ters!) çıktıklarını göstermek için tüm dönüşümleri bir raporda doğru bir şekilde yazdık. Küresel vektör uzayları teorisinde, cebir dersinden öğrendiğiniz gibi, güç değerleri vektörlerin katlanmasının aksiyomları olarak alınır, diğer katlama güçlerinin proteosu onlarınki olarak alınır.
4. Bir vektörün bir sayı ile çoğaltılması. Bir vektörün bir sayı ile çarpımı, bir sayıya vektör ekleme işlemi olarak adlandırılır. x sayısına sıfır olmayan bir a vektörünün eklenmesi, "ha" ile gösterilen ve gelen iki zihni tatmin eden bir vektördür:
(P1) | ha | = | x | | bir | ; (P2) ha bir, evet x 0, ben bir, evet x<0.
Bir atama için be-yak sayısına sıfır vektörünün eklenmesi 0'a eşit alınır.
Umova (P1) adil vex= 0, bira umova (P2)<0 (из-за чего случай нулевого вектора и приходится рассматривать отдельно). Однако, при любых а и х векторы а и ха коллинеарны (почему?).
Saygılarımla, sho ha \u003d 0 |ha| = 0 |x||a| = 0 |x| = 0 ki |a| = 0 X = 0 veya = 0. Ortalama,
(2.9) vektörün bir sayı artması sıfıra eşittir ve sonra eğer bir sayıysa veya vektör sıfıra eşitse.
Veriler sıfır x sayısına ve a vektörüne eşit olmasın. Vіdklademo vektörü hakkında önceki noktaÖKÜZ= ha. Oskіlki vektörü ve ben vinnі buti kolіnearnimi, vіdrіzok
düz bir çizgide (OA) yatmaktan suçludur, tıpkı zihnin arkasındaki bir dovzhina gibi (P1) do_vnyuvati |x||a|'dan suçludur. Tam olarak böyle iki rüzgar var, üstelik bunlardan biri (yoga denir)
) sp_düzleştirmeler
, ve diğeri (yoga denir
) doğrultma
(Şek.13). Bilene kadar arkanı dön (P2), bachimo, sho
=
x > 0 ben için
=
x'te< 0.
T Bir dereceye göre, bir vektörün bir sayı ile çarpılıp çarpılamayacağı ve sonuç benzersiz bir şekilde atanır.
Ana kuvvetlere, vektörlerin sayılarla çarpımı şu şekilde verilir:
(U1) Herhangi bir vektör için a 1a = a (yani 1 ile çarpma vektörü değiştirmez).
(Y2) Herhangi bir x, y sayısı ve bir vektör a x(ya) = (xy)a (çağrışımsallık).
(Y3) Herhangi bir x, y sayısı ve a (x + y) vektörü için a = xa + ya (rastgele katlanan sayıların çarpımının dağılımı).
(Y4) Herhangi bir sayı için x ta vector_v ve ta b x(a + b) = xa + xb (vektör_b'nin nasıl çarpılacağı çarpmanın dağılımı).
Her şeyden önce, yetkililer arabulucu atamaları olmadan çığlık atıyor (çevirin!). Diğerlerinin kanıtları L.S.'nin 14-16. sayfalarında bulunabilir. Atanasyan ve V.T. Basilov "Geometri" (bölüm 1).
Önemli bir şekilde, bir vektörü bir sayı ile çarpmanın gücü:
(2.10) a vektörü sıfır olmadığı için a/|a| - Vektör ile yön, tek bir vektör. 3
Doğru, a ve a/|a| vektörleri ortak yönlü (bo 1/|a| > 0) ve |a/|a|| = | bir | / | bir | = 1.
(2.11) (-1)a = -a.
Kesinlikle, bir vektörün vektör sayısıyla (-1) çarpılması amacıyla ve і orantılı olarak düzleştirilir ve їх eşittir.
5. Doğrusallık belirtileri.
(2.12) Sıfır olmayan bir vektörün vektörünün eşdoğrusallığının işareti. b vektörü, sıfır olmayan bir a vektörüyle aynı doğrultudadır, ancak yalnızca böyle bir sayı varsat, bu b =ta. Eğer öyleyse, i b vektörleri eş yönlüdür, o zaman t = |b| / | a | ve eğer koku dümdüz ise, o zaman t = – |b| / | bir |.
Bu vektörleri ve ta'nın her zaman eşdoğrusal olduğunu zaten atadık. Geri, sıfır olmayan bir vektör ve doğrusal bir yomou vektörü alın b. Koku eş yönlü olduğu için t = |b|/|a| koyalım. Todi | ta | = | t | | bir | = (|b|/|a|)|a| = |b|, і, a'dan gelen yönlendirmelerin ta vektörüdür, ayrıca, b'den і. baba, ta = b işareti 1.7'den sonra. Yakshcho kuyusu b, diyelim ki t = - | b | / | bir |. biliyorum |ta| = | t | | bir | = (|b|/|a|)|a| = |b| ve a (H5) vektörü boyunca düzleştirilmiş ta ve b vektörleri birbirleriyle birlikte yönlendirilir. Yani, doğru yönde ta = b.
A vektörünün sıfır olmadığı gerçeğine karşı bir önlem, bazen kullanışlı değildir. Todi böyle vikoristati yapabilir
(2.13) İki vektörün eşdoğrusallığının işareti. İki vektör, bir sayı ile ek bir çarpma için diğerinden görülebiliyorsa, aynı ve yalnızca aynıdır.
Tartışma uğruna, verilen iki vektörden biri sıfıra eşit değilse, daha fazlasını yaptık. Eh, eğer hakaret eden vektörler sıfırsa, o zaman, ilk etapta, bunlar eşdoğrusaldır, ancak farklı bir şekilde, bunlardan birinin sayı olsun, daha büyük bir sayıdan alınıp alınamayacağı, böylece her şey bu şekilde iyi olur. .
6. Vektörler üzerinde bir saatlik işlemler için paralelliğin korunumu.
(2.14) Paralellik hakkında lemma. İki vektör ve paralel doğrular (düzlemler) varsa, o zaman bu doğrular (düzlemler) toplamlarına paraleldir. Vektör paralel bir doğruysa (düzlemin), o zaman düz çizgi (düzlemin) o bir ve aynı sayıya paraleldir.
a ve b vektörleri verilen doğruya (düz) paralel olsun. Vektörün tam O noktasına ekliyoruz ve OA = a i AB = b. Aynı A ve B noktaları da doğru (düzlem) üzerindedir. Daha sonra, bu düz çizginin (alan) paralelliği anlamına gelen a + b'nin toplamını temsil eden vіdrіzok OV vardır.
Vіzmemo şimdi x sayısının zh noktaları olup olmadığı O vektör işletim sistemi = xa. a = 0 ise, o zaman i xa = 0 ve sıfır vektörü, ister düz bir doğru ister bir düzlem olsun, paraleldir. Değilse, xa vektörünü temsil eden OS, OA düz çizgisi üzerinde ve dolayısıyla i düz çizgi (düzlem) üzerindedir. Tim'in kendisi ha vektörü düz çizgiye (düz) paralel olacaktır.
giriş
Güvenle, çok az insanın umursadığını, vektörlerin bizi burada hissettireceğini ve günlük hayatta bize yardımcı olacağını söyleyebiliriz. Duruma bir göz atalım: delikanlı, kulübesinden iki yüz metre ötede kızın bakımını tanıdı. Chi znaydut tek başına kokuyor mu? Zvichayno, nі, genç adam smut söylemeyi unuttu: düz, bilimsel bir şekilde tobto - bir vektör. Ayrıca, bu proje üzerinde çalışma sürecinde, bir düzineden az olmamak üzere daha fazla kişisel olmayan vektör uygulaması getireceğim.
Vzagali, matematiğin en büyük bilim olduğuna saygı duyuyorum, bilinenlerde kordon yok. Vektörler konusunu seçtim ve belirsiz bir şekilde değil, bir bilimin sınırlarının çok ötesine geçmek için “vektörü” anlayanlarla ve matematiğin kendisiyle daha da ilgilendim ve pratikte skrіz olduk. Bu rütbede, cilt kişi asaletten suçlu, vektör nedir, bu konunun daha da alakalı olduğunu düşünüyorum. Psikoloji, biyoloji, ekonomi ve diğer bilimlerde "vektör" kavramı anlaşılır. Dokladnі o hakkında tse I rozpovіm pіznіshe.
Bu projenin amacı, vektörlerle çalışmaya başlamaktır, vminnya bachiti, büyükle kıyaslanamaz, saygılı bir ortamın gereksiz bir dünyaya dönüştürülmesidir.
İtiraf tarihi anlamak vektörü
Modern matematiğin temel anlayışlarından biri vektördür. Vektör anlayışının evrimi, matematiğin çeşitli alanlarında, mekanikte ve ayrıca teknolojide vektör anlayışının çok çeşitli anlayışından ilham almıştır.
Yeni bir matematiksel kavramın vektörü. "Vektör" terimi ilk olarak 1845'te İrlandalı matematikçi ve astronom William Hamilton'da (1805 - 1865) karmaşık sayıları tanıtan sayısal sistemler üzerindeki çalışmasında ortaya çıktı. Hamilton yalanı ve "skaler", "skaler tvir", "vektör tvir" terimleri. Mayzhe vodnochas, doğrudan sizinle birliktedir, ayrıca nemetsky matematikçisi Herman Grassman (1809 - 1877) ile birliktedir. İngiliz William Clifford (1845 – 1879), küresel teori çerçevesinde başta vektör hesaplama olmak üzere iki yaklaşımı yakınlaştırdı. Ve kalıntı görüş, 1901'de büyük vektör analizi el kitabını yayınlayan Amerikalı fizikçi ve matematikçi Josiah Willard Gibbs'in (1839 - 1903) pratiğinde uyandı.
Geçen yüzyılın sonuna, vektör hesaplama ve yogo takviyelerinin geniş bir gelişimi damgasını vurdu. Vektör cebiri ve vektör analizi, tüm vektör uzayı teorisi oluşturuldu. Bu teoriler, özel ve genel su içeriği teorisini teşvik etme durumunda galip geldi, yak modern fizikte önemli bir rol oynuyor.
Vektör kavramı orada suçlanır, doğrudan o değeri ile karakterize edilen nesneler tarafından sağa getirilir. Örneğin, güç, hız, ivme ve diğerleri gibi bazı fiziksel nicelikler, sayısal değerler olarak ve doğrudan th ile karakterize edilir. cym ile bağlantıda, atanan fiziksel değerler düz çizgilerle manuel olarak görselleştirilir. Vektörü anlamak için yeni matematik ve fizik programlarına Vіdpovіdno, okul matematik dersini anlamak için kanıtlanmışlardan biri haline geldi.
Matematikte vektörler
Vektöre, koçanı ve sonu olan düzleştirme vіdrіzok denir.
A noktasında koçan ve B noktasında son bulunan vektör AB anlamına gelir. Vektörler, örneğin, üstlerinde bir ok bulunan küçük Latin harfleriyle (іноді - risochkoy) da gösterilebilir.
Geometri vektörü doğal olarak transfere (paralel transfer) atanır ve bu açıkça yoga adının benzerliğini açıklar (Latin vektörü, taşıdığınız şey). Gerçekten de, kolların düzleştirilmesinin derisi, benzersiz bir şekilde, düzlemin veya uzayın transferine paralel olarak kendisini gösterir: örneğin, AB vektörü, A noktası noktaya hareket ettiğinde, yani geriye doğru hareket ettiğinde, doğal olarak transferi ifade eder, Paralel transfer, A'ya hareket ettiğinde, AB kollarının tek bir düzleştirilmesi anlamına gelir.
AB vektörünün uzunluğu, AB її zazvichay vektörünün uzunluğu olarak adlandırılır ve AB'yi belirtir. Orta vektörün sıfırının rolü, koçanın ve sonun zbіgayutsya olduğu sıfır vektördür; yoma, diğer vektörlere göre, doğrudan aynı vektöre atfedilmez.
İki vektör paralel doğrular üzerinde veya bir doğru üzerinde bulundukları için eşdoğrusal olarak adlandırılır. İki vektöre eşdoğrusal olduklarından ve bir yönde doğruldukları için, ayrıca doğru olduklarından ve farklı taraflara yönlendirildikleri için doğruldukları için eş yönlü olarak adlandırılır.
Vektörler üzerinde işlemler
modül vektörü
AB vektörünün modülü, AB alt bölümünün en önemli değeri olan sayıdır. AB olarak tanımlanır. Koordinatlar aracılığıyla hesaplanır, örneğin:
Katlanır vektörler
Verilen koordinat için toplam vektörü, eklerin verilen koordinatlarının toplamına gitmelidir:
)(\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_(y)+b_(y),a_(z)+b_(z) ))
Bir geometrik toplama vektörü için (\displaystyle(\vec(c))=(\vec(a))+(\vec(b)))c = farklı kurallar (yöntemler), hepsini aynı sonucu verecek şekilde deneyin. Bu chi іnshoy kuralının Vikoristannya'sı zavdannya, scho rozvyazuєtsya tarafından engelleniyor.
triko kuralı
Trikutnik kuralı, vektörü bir aktarım olarak anlamanın en doğal yoludur. Tahmin edebileceğiniz gibi, iki tirenin (displaystyle (vec (a))) ve (displaystyle (vec (b))) sonraki bir vurgusunun sonucu, her nokta bir tirenin (displaystyle (vec ( a) ))+(\ vec (b))), bu kurala uyar. İki vektörü (\displaystyle (\vec (a))) ve (\displaystyle (\vec (b))), triko kuralına göre katlamak için, vektörler ve vektörler birbirine paralel aktarılır, böylece birinin koçanı bunlardan diğerinin sonu ile birleştirilir. Daha sonra sumi vektörü, oluşan trikutnik'in üçüncü tarafı tarafından belirlenir, ayrıca koçanın kulağı birinci vektörün koçanıyla çalışır ve başka bir vektörün sonu ile biter.
Bu kural, herhangi bir sayıda vektörün katlanması için doğrudan ve doğal olarak zagalnyuєtsya'dır. laman kuralı:
Bagatokutnik kuralı
Başka bir vektörün koçanı birincinin sonuyla, üçüncünün koçanıyla - diğerinin sonuyla vb., vektördeki toplam (\displaystyle n) vector_, koçanın kulağıyla giden birinci ve son (\displaystyle n) th (Bu, lamana doğru yanıp sönen düz bir rüzgarla gösterilir). Aynı zamanda laman kuralı olarak da adlandırılır.
paralelkenar kuralı
İki vektörü (displaystyle (vec (a))) ve (displaystyle (vec (b))), paralelkenar kuralına göre katlamak için, hem vektörler hem de vektörler, koçanları parçalanacak şekilde kendileri tarafından paralel olarak hareket ettirilir. Daha sonra sumi vektörü, orijinal koçandan çıkması gereken, üzerlerinde indüklenen paralelkenarın köşegenine atanır.
Paralelkenar kuralı özellikle uygundur, eğer toplama vektörünü bir kerede tasvir etmek gerekirse, onu dodanki'nin hakaretinin uygulandığı aynı noktaya ekleyeceğiz - vahşi bir kulak yapabilen üç vektörü de tasvir etmek için .
Vіdnіmannya vektörel
Otrimannya raznitsі için koordinat formunda vіdpovіdnі vektörlerin koordinatlarını girmek gerekir:
, (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_(y)-b_(y),a_(z)-b_(z) ))
Perakende vektörünü (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))) çıkarmak için vector_v'nin koçanı vektörün koçanı (\displaystyle (\ vec (c))) biter (\displaystyle (\vec (b))) ve biter - biter (\displaystyle (\vec (a))). Vektörlerin eğri noktalarını yazmak için, AC-AB=BC(\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).
Bir vektörü bir sayı ile çarpma
Vektörü (\displaystyle (\vec (a))) (\displaystyle \alpha 0) sayısıyla çarpmak, uzunluğu (\displaystyle \alpha) kat daha fazla olan bir eş yönlü vektör verir. Vektörü (\displaystyle (\vec (a))) ile (\displaystyle \alpha ) çarparak x vektörüne (\displaystyle \alpha ) uzunluğunun kat fazlasını verir). sayı:
(\displaystyle \alpha (\vec (a))=(\alpha a_(x),\alpha a_(y),\alpha a_(z)))
Skaler doboot vector_vskaler
Bir skaler oluşturma, bir vektör vektörü çarparken ortaya çıkan bir sayıdır. Formülü bilin:
Skaler TV, aralarındaki bir düzine vektör vb. aracılığıyla bilinebilir. Modern bilimlerde vektörlerin tıkanıklığı Fizikte vektörler Vektörler, matematik ve fiziğin zorlayıcı bir aracıdır. Vektörüm, mekaniğin ve elektrodinamiğin ana yasalarını formüle ediyor. Fiziği anlamak için vektörlerle nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Fizikte, matematik gibi bir vektör, sayısal değerleriyle ve doğrudan karakterize edilen bir değerdir. Fizikte, kuvvet, konum, hız, ivme, moment, neyin sarıldığı, momentum, elektrik ve manyetik alan kuvveti gibi vektörler olan birkaç önemli nicelik vardır. Edebiyatta vektörler Ivan Andriyovich Krilov'un "kuğu, kanser, turna, bavullarıyla aldılar" hakkındaki hikayesini tahmin edelim. Masal, "şeyler ve ninler orada" olduğunu, başka bir deyişle, kuvvetlerin yükü sıfıra ulaşana kadar uygulanan tüm kuvvetlere eşit olduklarını doğrular. Ve kuvvet, bildiğiniz gibi, vektörel bir büyüklüktür. kimyada vektörler
Bir kimyasal reaksiyonun bir vektör olduğu fikri, genellikle büyük fikirler tarafından uyandırıldı. Zagalom, eğer "vektörü" anlarsan, bunun gerçek bir şey olup olmadığını hayal edebilirsin. Vektör, uzayda ve belirli zihinlerde açıkça düzeltilebilen, büyüklüğü gibi görünen diyu'yu veya bir fenomeni gösterir. y vektörünün uzaydaki yönü, vektör ve koordinat eksenleri arasında kurulan kuts ile gösterilir ve vektörün uzunluğu (değeri) koçanın ve koçanın koordinatlarıdır.
Bununla birlikte, kimyasal reaksiyonun bir vektör olduğu iddiası hala yanlıştı. Aşağıdaki kural bu iddianın temelini oluşturur: “Bir dizi konuşma (dua), obsyagiv kitleleri gibi, mevcut koordinatlarla uzayda düz bir çizgiye benzeyen kimyasal bir reaksiyon olsun”.
Tüm doğrudan kimyasal reaksiyonlar, koordinatların koçanından geçmelidir. İster uzayda düz olsun, vektörlerin nasıl olduğu önemli değil, ancak doğrudan kimyasal reaksiyonun parçalarının koordinat sisteminin koçanı içinden geçtiği önemli, o zaman doğrudan kimyasal reaksiyonun vektörünün düz çizgi üzerinde olduğunu kabul edebiliriz. ve yarıçap vektörü olarak adlandırılır. Bu vektörün koçanı, koordinat sisteminin koçandan zbіgaєtsya. Otzhe, önemsiz olmayan bir vysnovka geliştirmek mümkündür: kimyasal bir reaksiyon olsun, uzayda bir vektör haline gelmesiyle karakterize edilir. Biyolojide vektörler
Vektör (genetikte) - genetik materyalin diğer hücrelere aktarılması için genetik mühendisliğinde muzaffer olan, çoğunlukla DNA olan bir nükleik asit molekülü.
Ekonomide vektörler
Yüksek matematiğin dallarından biri lineer cebirdir. Її Öğeler yaygın olarak zastosovuyutsya'dır ve genellikle ekonomіchnogo karakterindedir. Ayrıca önemli bir yer vektör anlayışını ödünç alır.
Vektör, sıralı bir sayı dizisidir. Dizi sayısından sonraki vektör sayılarına vektörün bileşenleri denir. Önemli bir şekilde, vektörler herhangi bir doğa, zocrema ve ekonomik unsurlar gibi olabilir. Bir tekstil fabrikasının 30 yatak takımı, 150 havlu, 100 kabanlık bir değişiklik üretebildiğini varsayalım, o zaman bu fabrika için bir vektör olarak bir program yapabilirim, de bir fabrikanın üretebileceği her şey bir merkezi vektördür.
Psikolojide vektörler
Bu gün, kendini tanıma, doğrudan psikoloji ve kendini geliştirme için çok sayıda bilgi kaynağı var. Ve böyle eşsiz bir doğrudan yolun, sistem-vektör psikolojisi gibi giderek daha fazla popülerlik kazandığını hatırlamak önemli değil, içinde 8 vektör var.
Günlük yaşam için vektörler
Kesin bilimlerin okrimi olan vektörlerin beni her gün öğrendiğine olan saygımı kaybettim. Mesela parkta bir saat yürüdükten sonra, yalina'nın ortaya çıktığını hatırladım, onu uzaydaki bir vektörün kıçı olarak görebilirsiniz: alt kısım vektörün koçanıdır ve ağacın tepesidir. vektörün sonudur. Ve büyük mağazalara bakarken vektörün görüntülerinden gelen kelimeler, ertesi günü bilmemize ve saatten tasarruf etmemize yardımcı oluyor.
Vektör trafik işareti.
Bugün, evin etrafında dolaşırken, su rolündeki bir yürüteç gibi, karayolu trafiğinin katılımcıları oluyoruz. Bizim saatimizde, anladığınız gibi, yardım edemeyeceğiniz ancak karayolu trafiğindeki tüm katılımcıların güvenliğine girebileceğiniz bir arabaya sahip olmak pratiktir. Ben, yoldaki kazaları önlemek için, karayolu trafiğinin tüm kurallarını varto dotrimuvatis. Ancak, hayatta herkesin birbiriyle ilişkili olduğunu ve karayolu trafiğinin en basit işaretlerinde, neyin cezalandırılacağını, trafiğin oklarını matematikte vektörlerle kullanabileceğimizi unutmayın. Okların (vektörlerin) sayıları bize dönüşün yönünü, dönüşün kenarlarını, turun kenarlarını ve çok daha fazlasını gösterir. Tüm bu bilgiler Özbek yollarındaki trafik işaretlerinden okunabilir.
Visnovok
“Vektör”ün temel kavramı, okullarda bir saat daha matematik derslerine ve küresel kimya, küresel biyoloji, fizik ve diğer bilimlerin bölümlerinde eğitimin temeline bakacağız. Hayattaki vektörlere olan ihtiyacı izliyorum, gerekli nesneyi bilmenize yardımcı olmak, saati kurtarmak, işlevi trafik işaretlerinde kokutmak için.
Vişnovki
Bir kişinin cildi, günlük yaşamda sürekli olarak vektörlere yapışır.
Vektörler, matematik ve diğer bilimlerin gelişimi için gereklidir.
Kozhen bir vektörün ne olduğunu biliyor olabilir.
Cerela
Bashmakov M.A. Vektör nedir? -2. görünüm., Err. - M.: Kvant, 1976.-221s.
Vigodsky M.Ya. Temel matematikten Dovіdnik.-3. görünüm., Ster. - M: Bilim, 1978.-186'lar.
Gusyatnikov P.B. Uygulamalarda ve görevlerde vektör cebiri.-2. form., ster.- M.: Vishcha okulu, 1985.-302p.
Zaitsev V.V. İlköğretim matematik. Tekrarlanan kurs.-3-th tür., ster.- M.: Nauka, 1976.-156p.
Köketer G.S. Geometri ile yeni dişler.-2. görünüm., Ster. - M: Bilim, 1978.-324'ler.
Pogorelov A.V. Analitik geometri. - 3. görünüm., Ster. - M: Kvant, 1968.-235'ler.
Nareshti, ellerim büyük ve dovgoochіkuvano tems'e gitti. analitik geometri. Yüksek matematiğin bu bölümü hakkında bir avuç saçmalık. Şüphesiz, sayısal teoremler, ispatları ve sandalyeler ile okul geometrisinin seyrini hemen tahmin ettiniz. Öğrencilerin önemli bir kısmı için neyin cezbedileceği, nefret edileceği ve çoğu zaman zekice olmayan bir konu. Analitik geometrinin daha erişilebilir hale getirilmesine şaşmamalı. Aplikatör "analitik" ne anlama geliyor? Akla iki damgalı matematiksel dönüş geliyor: “grafik çözüm yöntemi” ve “analitik çözüm yöntemi”. Grafik yöntemi. Analitik ve yöntem kirazı tarihte taşımak aşırı önemli ek cebirsel işlemler için. cim ile bağlantılı olarak, analitik geometrinin tüm görevlerini pratik olarak çözme algoritması basit ve anlaşılırdır, genellikle gerekli formülleri doğru bir şekilde doldurun - ve kanıt hazır! Eh, belli ki, bir koltuk olmadan geçemeyiz, o zamana kadar, malzemenin en iyi anlaşılması için onları gerektiği gibi göstermeye çalışacağım.
Geometri dersleri teorik olarak tamamlanmış olduğunu iddia etmez, ancak pratik görevleri ele alır. Dersime yalnızca, benim görüşüme göre, pratik amaçlar için önemli olanları dahil edeceğim. Ne tür bir gelişme hakkında daha fazla açıklamaya ihtiyacınız varsa, mevcut literatürün tamamına gelmenizi tavsiye ederim:
1) Sarsıcı olmadan, bir neslin çaçasını bildiğimiz zengin: Shkіlniy podruchnik z geometrisi, yazar - LS Atanasyan ve Şirketi. Tsya okul çekişmesi askısını zaten gördü 20 (!) Görüldüğü gibi, açıkçası, bir sınırım yok.
2) 2 ciltte geometri. Yazar LS Atanasyan, Bazilov V.T.. Okulunuz için tüm literatür, ihtiyacınız olan ilk cilt. Tarlamdan, şafak nadiren sersemleten görevi görebilir ve baş yardımcı paha biçilmez bir yardım verebilir.
Rahatsız edici kitaplar internetten ücretsiz olarak satın alınabilir. Ayrıca yan tarafta bildiğiniz hazır çözümlerden arşivlerimi kazanabilirsiniz. Harika matematikten yararlanın.
Enstrümantal araçlardan çoğaltacağım, ama hala genişleme gücüm var - yazılım kompleksi hayatı affetmek ve saatin kütlesini kurtarmak için anlamlı olan analitik geometriden.
Okuyucunun temel geometrik kavramları ve şekilleri bildiğine dikkat edilmelidir: nokta, düz çizgi, düzlem, tricutnik, paralelkenar, paralelyüz, küp vb. Bazhano eski teoremi hatırlayın, Pisagor teoremini istiyorsanız, diğer konuşmacılara greft yapın)
Aşağıdakilere sırayla bakacağız: bir vektör kavramı, vektörlerin anlaşılması, bir vektörün koordinatları. okumanı tavsiye ederim en önemli makale Skaler doboot vector_v, benim gibi Vektör ve zm_shany tv_r vector_v. Ben zavoi ve yerel zavdannya olmayacağım - tsomu vіdnoshnі'da Rozpodil vіdrіzka. İçsel bilgilere dayanarak, ustalaşabilirsiniz düz çizgilerin bir daire üzerinde hizalanması h en basit izmaritlerle neye izin verilir geometri görevinde ustalaşmayı öğrenin. Ayrıca, bunlar aynı makaleler: Alanın yakınındaki alanın düzlüğü, Açık alanda Rivnyannya düz çizgi, Düz bir çizgi ve bir düzlemde temel görevler, analitik geometrinin diğer bölümleri. Doğal olarak, tipik görevlere bakmak doğaldır.
Kavram vektörü. Vilniy vektör
Kafanın arkasında, vektör okuluna tekrarlanabilir. Vektör aranan doğrultma yogo koçanı ve kіnets sipariş edilen vіdrіzok:
Koçanı zamanında, bir vіdrіzka bir noktadır ve vіdrіzka'nın sonu bir noktadır. Değer vektörünün kendisi aracılığıyla . dümdüz değer önemliyse, oku satırın bir sonraki sonuna yeniden düzenlerseniz, vektörü görürsünüz ve ardından zovsim іnshiy vektör. Vektör kavramı, fiziksel bedenin hareketinden kolaylıkla ayırt edilebilir: bir dakika, enstitünün kapısından içeri girin veya enstitünün kapısından çıkın - tüm konuşma.
Uçağın okremi noktaları, el ile uzayı aç o yüzden diyoruz boş vektör. Böyle bir vektörün bir sonu ve bir mısır kulağı vardır.
!!! Not: Burada ve uzakta, vektörlerin bir düzlemde mi yoksa uzayda mı koktuğunu düşünebilirsiniz - gösterilen malzemenin özü alan ve uzay için geçerlidir.
Tanım: Bir zamanlar tabelada ok olmayan bir sopaya saygı gösterip, canavarın üzerine bir ok koy diyenler çoktur! Bu doğru, bir okla yazabilirsin: , ama izinliyim kayıt. Neden? Niye? Belki pratik mirkuvanlardan böyle bir ses oluştu, okuldaki oklarım ve VNZ farklı kalibre ve kıllı gibi görünüyordu. Birincil literatürde çivi yazısıyla oyalanmamalı, kalın harflerle yazılmış harflere bakılmalıdır:
Bu stilistikti, ama şimdi vektörleri kaydetmenin yolları hakkında:
1) Vektörler iki büyük Latin harfiyle yazılabilir:
ve şu ana kadar. ilk mektup kiminle obov'azkovo vektörün nokta-koçanını ve diğer harf - vektörün nokta-ucunu gösterir.
2) Vektörler ayrıca küçük Latin harfleriyle de yazılır:
Zocrema, vektörümüz küçük bir Latin harfiyle stil için yeniden tasarlanabilir.
Dovzhina veya modül sıfır olmayan bir vektöre çift kama denir. Sıfır vektörünün değeri sıfıra eşittir. Mantık.
Vektörün uzunluğu, modülün işaretiyle gösterilir: ,
Vektörün değerini nasıl bileceğimizi (veya yine yak'ın kimin için olduğunu) yılda biraz biliyoruz.
Bunlar, tüm okul çocukları tarafından bilinen vektör hakkında temel bilgilerdi. Analitik geometride, başlıklar Ücretsiz vektör.
Daha da basit - vektör herhangi bir noktaya konabilir:
Bu tür vektörlere eşit denir (eşit vektörlerin tanımı aşağıda verilecektir), ancak tamamen matematiksel bir bakış açısından, görünüm BİR VE AYNI VEKTÖR veya Ücretsiz vektör. Neden vіlny? Tören sırasında BE-YAKU'ya bir sonraki vektörü “uygulayabilmeniz” için, size bir alan veya uzay noktasına ihtiyacım olacak. Tse duzhe serin güç! Oldukça düz bir çizginin vektörünü ortaya çıkarmak için - sayısız kez “klonlamak” mümkündür ve uzayın herhangi bir noktasında aslında hatalar vardır. Є Böyle bir öğrencinin emri: Vektördeki kıçındaki deri hocaya. Aje sadece sıcak Roma değil, her şey matematiksel olarak doğru - vektör kontrol edilebilir ve yapılabilir. Ancak acele etmeyin, öğrencilerin kendileri genellikle acı çeker.
otze, Ücretsiz vektör- ce yüzü olmayan aynı düz çizgiler. Paragrafın koçanı üzerinde verilen vektörün Shkіlne tanımı: “Vektör, vіdrіzok'un yönetmenliğinin adıdır ...”, eşiğinde olabilir özel kolları düzleştirmek, z tsієї çarpanını almak, uçağın veya boşluğun şarkı söyleme noktasına bağlamalar gibi.
Fiziğin görüşüne göre, serbest vektörün anlaşılması yanlışsa, vektörün raporunun noktası önemli olabilir. Kesinlikle, aptal kıçımı geliştirmek için burnuma ve alnına aynı kuvvetin doğrudan darbesi farklı sonuçlara neden olur. sal, yanlış vektörler ve zustrіchayutsya ve vyshmata sırasında (oraya gitmeyin :)).
Dії z vektörleri. Vektörlerin ortak doğrusallığı
Geometrideki okul kursu, vektörlerden bir dizi kural ve kurala sahiptir: tricutnik kuralına göre toplama, paralelkenar kuralına göre toplama, vektörlerin farkı kuralı, bir vektörün bir sayı ile çarpması, bir vektörün skaler toplaması ve in. Tohumlama için, özellikle analitik geometri göreviyle ilgili olan iki kuralı tekrarlıyoruz.
Hileler kuralından sonra vektörleri katlama kuralı
Sıfırdan farklı iki vektöre bakalım i :
Bu vektörlerin toplamını bilmek gerekir. Tüm vektörler ve vvazhayutsya vіlnimi olanlar sayesinde, vіdklademo vektör vіd kinsya vektör :
Sumoyu vector_v ben є vektör. Kuralın kısa bir şekilde anlaşılması için, yeni dotsilno'ya fiziksel bir değişiklik koyun: vücudun bir vektörle ve sonra bir vektörle yolu kesmesine izin verin. Daha sonra vektörlerin toplamı, uygulama noktasında koçan ve varış noktasında son ile elde edilen yolun vektörüdür. Herhangi bir sayıda vektör için benzer bir kural formüle edilmiştir. Görünüşe göre, vücut zikzak boyunca güçlü bir şekilde kendi yoluna gidebilir ve belki de otomatik pilotta - sonuçtaki sumi vektörüne göre.
Konuşmadan önce, konuşma vektörü olarak koçanın üzerinde vektör , o zaman weide eşdeğerdir paralelkenar kuralı vektörler ekleyerek.
Vektörlerin doğrusallığı hakkında bir not. İki vektör denir doğrusal yakscho, tek bir düz çizgide veya paralel çizgilerde yatmak için kokuyor. Kabaca, paralel vektörler hakkında gidin. Bunlardan Alestosovy, zavzhd vikoristovuyut prikmetnik "kolіnearnі".
İki eşdoğrusal vektör göster. Bu vektörlerin okları aynı yöne doğrultulduğundan bu vektörlere denir. doğrultma ile. Oklar farklı yönlerde nasıl harika görünecek, vektörler ters düzleştirilmiş.
Tanım: vektörlerin eşdoğrusallığı bir birincil paralellik işaretiyle yazılır: bu durumda detaylandırma mümkündür: (vektörler birlikte yönlendirilir) veya (vektörler zıt yönde düzleştirilir).
Tvorom sıfır olmayan bir vektörün є sayısına göre böyle bir vektör, daha pahalıdır, ayrıca vektörler і birlikte yönlendirilir ve karşıt olarak yönlendirilir.
Bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralının anlaşılması, küçük bir ek şey için kolaydır:
Hadi daha yakından bakalım:
1) Düz. Çarpan negatif olduğundan, vektör doğrudan değiştir streç üzerinde.
2) Dovzhina. Çarpan veya sınırlarına yerleştirilirse, vektörün uzunluğu değiştirmek. Yani, vektörün uzunluğu, vektörün uzunluğundan daha az vdvіchі. Modülün arkasındaki çarpan birden büyükse, vektörün uzunluğu büyümek zamanında.
3) Saygıyı iade etmek için, scho tüm vektörler doğrusaldır bir ifade vektörü ile diğeri aracılığıyla, örneğin, . tezh fuarına geri dön Bir vektör diğerinden geçebiliyorsa, bu tür vektörler eşdoğrusal olmaya bağlıdır. Bu şekilde: vektörü bir sayı ile çarparsak, aynı çizgiyi görürüz(hafta sonu randevu ile) vektör.
4) Yön vektörleri. Vektörler de düzleştirilir. Birinci grubun bir vektörünün, başka bir grubun bir vektörü olsun ya da olmasın, yüz kadar düzleştirici olup olmadığı.
Hangi vektörler ve є eşittir?
İki vektör eşittir, sanki koku düzelmiş ve hala aynı olabilir. Ortak yönün vektörlerin eşdoğrusallığını ilettiğine saygı gösterin. Randevu yanlış olacaktır (gereksiz), sanki: "İki vektör eşittir, sanki eşdoğrusal, düzleştirilmiş ve aynı dovzhina'ya sahip olabilir."
Serbest vektörü bir bakışta anlayacak olursak, eşit vektörler bir önceki paragrafta zaten bulunan vektörün aynısıdır.
Uçakta ve uzayda vektör koordinatları
İlk nokta, dairedeki vektörlere bakmaktır. Kartezyen dik açılı koordinat sistemini temsil etmek mümkündür. yalnız vektör ve ta :
vektörler ve dikey. Ortogonal = Dik. Şartları yavaşça çağırmanızı öneririm: paralellik yardımcısı ve diklik vikoristovuemo vydpovidno kelimeler doğrusallıkі ortogonallik.
Tanım: Vektörlerin dikliği, bir diklik sembolü ile yazılır, örneğin: .
Bakılan, adlandırılmış vektörler koordinat vektörleri veya ortlar. Dani vektörü yatıştırmak temel dairede. Temeli nedir, sezgisel olarak zengin bir şekilde anlaşıldığını düşünüyorum, makalede daha ayrıntılı bilgi bulunabilir. Vektörlerin lineer (değil) nadası. Vektörlerin temeli.Basit bir deyişle, koordinatların temeli ve koçanı tüm sistemi belirler - dış ve en geometrik yaşamın olduğu bir tür temel.
Bazen temel denir ortonormal alanın temeli: "orto" - koordinat vektörleri ve ortogonal parçaları, "normalleştirme" örneği tek anlamına gelir, yani. Dovzhina vektörel temeli dorіvnyuє oditsі.
Tanım: yuvarlak tapınaklarda temeli yazın, ortadakiler suvoriy sırayla pererakhovuyutsya temel vektörler, örneğin: . koordinat vektörleri yapamamak missyami'yi yeniden düzenleyin.
be-yaky düz vektör bir rütbe görüşte görünür:
, de - sayılar yaki denir vektör koordinatları hangi temelde. Ve Viraz'ın kendisi aranan vektör düzenitemel .
Akşam yemeği servis edilir:
Alfabenin ilk harfiyle başlayalım: . Vektörlerin vicorist temeline göre düzenine iyi bakıldığını koltuktan görmek güzel:
1) bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralı: i;
2) vektörleri triko kuralına göre katlama: .
Şimdi düzlemde başka noktalar olup olmadığına bir vektör eklemeyi düşünün. Bu düzenin "onu takip etmek için erişilemez" olduğu oldukça açık. Kazanılan eksen, özgürlük vektörü - "her şeyi yanınızda taşıyın" vektörü. Tsya vlastіst, zrozumіlo, herhangi bir vektör için itaatkar. Temel (vilni) vektörlerin kendilerinin koçanı üzerindeki koordinatları göstermemesi komiktir; Doğru, böyle çalışmana gerek yok, vikladach kırıkları da orijinallik ve immalyu gösterebilir, yanlış yerde sigortalanırsın.
Vektörler, bir vektörün bir sayı ile çarpma kuralını, temel vektör ile yön vektörünü, temel vektöre kadar yön vektörünü tam olarak gösterir. Bu vektörler sıfıra eşit koordinatlardan birine sahiptir ve kısaca şöyle yazılabilir:
Ve konuşmadan önceki temel vektörler şu şekildedir: (aslında, koku kendi kendine ifade edilir).
І nihayet: , . Konuşmadan önce vektörün vizyonu nedir ve neden vektörün kuralından bahsetmedim? Burada, lineer cebirde artık hatırlamıyorum, ne gördüğümü fark ediyorum - çok fazla dalgalanma var. Yani, "de" ve "e" vektörlerinin yerleşimi sakince sumi olarak yazılır:, . Dodanki'yi koltukların arkasındaki yerler ve prostegte ile yeniden düzenleyin, çünkü bu durumlarda vektörlerin eski güzel katlanmasının trikutnik kuralına uyduğu açıktır.
Düzene bir göz atın vektör düzeni için diğer isimler sistemde ort(Yani tek vektörler sisteminde). Ancak, saldırgan seçeneğin uzantıları olan bir vektör yazmanın tek bir yolu yoktur:
Kıskançlık belirtisi olan Abo:
Temel vektörlerin kendileri şu şekilde yazılır: i
Yani yuvarlak kollar için vektörün koordinatları atanır. Pratik görevler için kayıt için üç seçenek vardır.
şüphelerim var, diyor chi, ama yine de söyleyeceğim: vektörlerin koordinatları yeniden düzenlenemez. Suvoro ilk sırada koordinatı tek bir vektörmüş gibi yazıyoruz, başka bir yerde suvoro koordinatı tek bir vektörmüş gibi yazıyoruz. Doğru, ben iki farklı vektörüm.
Karedeki Z koordinatları dizildi. Şimdi önemsiz bir uzaydaki vektörlere bakalım, burada pratik! Sadece bir koordinat daha verilecektir. Trivimirnі kreslennya vykonuvat önemli, bunun için basitlik için koordinat koçanı içine koyduğum bir vektörle çevrili olacağım:
be-yaky vektör triviviral uzay mümkündür tek yön ortonormal bir temelde düzenleyin:
, de - Verilen bazda vektörün (sayı) koordinatları.
Resimden örnek: . Diy іz vektörlerinin kurallarının burada nasıl çalıştığını merak edelim. İlk önce vektörü şu sayı ile çarpın: (kırmızı ok), (yeşil ok) ki (ahududu oku). Farklı bir şekilde, önünüzde bir kіlkoh, bazen üç vektör eklemenin poposu var: . Sumi vektörü yönün çıkış noktasında (vektör koçanı) başlar ve torbanın varış noktasında (vektör ucu) yapışır.
Trivimer uzayının tüm vektörleri, doğal olarak, tezh volnі, vektörü asıl olası noktaya koyma fikirlerini deneyin ve yogo düzeninin yenisinde kaybolacağını anlayacaksınız.
Düz bir düşüşe benzer, suç kaydı prangalı yaygın olarak doğrulanmış versiyonlar: abo.
Düzende bir (veya iki) koordinat vektörü varsa, bunların yer değiştirmeleri sıfıra ayarlanmalıdır. Uygulamak:
vektör (huzursuzca ) - Yazalım;
vektör (huzursuzca ) - Yazalım;
vektör (huzursuzca ) - yazalım.
Temel vektörler aşağıdaki gibi yazılır:
Eksen, belki ve tüm minimum teorik bilgi, analitik geometri görevi için gerekli çözümler. Terimler ve anlamlar çok zengin olabilir, çaydanlıkların bu bilgileri tekrar okuyup anlamalarını tavsiye ederim. Bu, yakoy chitachevi'nin, malzemenin en iyi ustalığı için temel derse kadar korisno іnоdі znatatisya olacaktır. Kolіnearnіst, ortogonallik, ortonormal temel, vektörün düzeni - bunlar, genellikle belli bir mesafeden anlaşılan noktalar ve diğerleridir. Sitenin malzemelerinin teorik bir odayı, bir geometri kolokyumunu katlamak için yeterli olmadığını belirteceğim, bu yüzden tüm teoremleri (bundan önce, kanıt olmadan) - bilimsel stile kötü bir şekilde - dikkatlice kodluyorum. viklad, ancak konuyu anlamanız için bir artı. Teorik raporun sonuçlandırılması amacıyla, Profesör Atanasyan'a verilen bağlantıyı takip etmenizi rica ediyorum.
Ve pratik kısma geçiyoruz:
Analitik geometrinin en basit görevi.
Koordinatlarda vektörlerle birlikte değil
Zavdannya, bakılacak olursa, tam otomatikte nasıl yazılacağını ve formülleri öğrenmek daha iyidir. hatırlamak, özellikle hatırlama, kendini hatırla =) Daha da önemlisi, en basit temel izmaritlerdeki parçalar analitik geometrinin diğer görevlerine dayanmaktadır ve pishakіv günü için ek saati kapsayacaksınız. Üst gudzikleri gömleklere giymek gerekli değildir, okullardan birçok konuşma bilirsiniz.
Paralel bir kursta malzemeye katkı - ve düzlük ve boşluk. Tüm formüllerin sizin için işe yaramasının nedenleri bunlar.
İki noktadan bir vektör nasıl anlaşılır?
i düzleminin iki noktası verilirse, vektör aynı koordinatlara sahip olabilir:
i uzayına iki nokta verilirse, vektör aynı koordinatlara sahip olabilir:
Tobto, vektörün sonunun koordinatlarından doğru koordinatları girmek gerekiyor koçan vektörü üzerinde.
Müdür: Noktaların kendileri için, vektörün koordinatlarının önemi için formülleri yazın. Formüller ders gibi.
popo 1
i verilen alanın iki noktası. Vektörün koordinatlarını bilin
Çözüm: belirli bir formül için:
Bir seçenek olarak, bulo vikoristati saldırgan kaydı yapabilirsiniz:
Esteti virishat ve bunun gibi:
Özellikle kaydın ilk versiyonunu seslendiriyorum.
Öneri:
Zihin için (analitik geometri görevi için tipik olan) bir koltuk kullanmak gerekli değildir, ancak mevcut anları küfür etmeden çaydanlıklara açıklama yöntemiyle:
Obov'yazkovo anlayışlı olmalı vіdminnіst mіzh koordinatları nokta ve vektör_v koordinatları:
koordinat noktası- Dikdörtgen koordinat sisteminin birincil koordinatları. Koordinat düzleminde lekeler var sanırım, her şey hala 5-6. sınıfta. Cilt noktası düzlükte olabilir ve herhangi bir yere taşınması mümkün değildir.
vektör koordinatları- Bu vipadka'da temelde yogo düzeni. Herhangi bir vektör serbestse, uçağın başka bir noktası olsun, kullanıcının ihtiyaçlarına eklemek kolaydır. Tsіkavo, scho vektorіv, dikdörtgen bir koordinat sistemi olarak vzagalі budvavat asі olabilir, temel sadece, alanın temeli farklı ortonormalizasyonlar için gereklidir.
Nokta koordinatlarının ve vektör koordinatlarının kayıtları biraz benzerdir: ve koordine duyusu kesinlikle farklı, ve perakende hakkında iyi bilgi sahibi olmalısınız. Tsya vіdminnіst, zrozumіlo, adil ve alan için.
Bayan ve Bayan, elimizi dolduruyoruz:
popo 2
a) Verilen puanlar ve . Vektörleri bilin.
b) Veri noktaları o . Vektörleri bilin.
c) Verilen puanlar ve . Vektörleri bilin.
d) Verilen puanlar. vektörleri bilin .
Anne, bu kadar yeter. Bağımsız bir çözüm için uygulayın, onları görmezden gelmemeye çalışın, ödeyin ;-). Koltuk çalışması gerekli değildir. Ders için çözümler ve öneriler.
Analitik geometri görevinin tamamlanması sırasında önemli olan nedir? Son derece saygılı olmak önemlidir, böylece ustanın “iki artı iki ve sıfır” affına izin verilmez. Merhamet etmiş gibi tekrar soracağım =)
Dohina vіdrіzka nasıl bilinir?
Dovzhina, amaçlandığı gibi, modülün işareti ile belirtilmiştir.
Alanın iki noktası verilirse, vіdrіzka'nın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.
i alanına iki nokta verilirse, dozhina vіdrіzka formül kullanılarak hesaplanabilir.
Not: Yerleri uygun koordinatlarla yeniden düzenleyebilmeniz için formüller doğru olanlarla doldurulmalıdır: i , ancak standart ilk seçenek
popo 3
Çözüm: belirli bir formül için:
Öneri:
Doğruluk için bir koltuk yaratıyorum
Vіdrіzok - ce vektör değil ve yogayı açıkça yapamayacağınız yere taşıyın. Ayrıca, koltuğu ölçekli olarak görebilirsiniz: 1 od. \u003d 1 cm (iki dikiş), daha sonra otrimana vіdpovіd, dovejin vіdrіzka'ya müdahale etmeden önemli bir çizgi ile devrilebilir.
Yani, çözüm kısa, ancak yenisinde açıklamak istediğim gibi hala birkaç önemli an var:
İlk olarak, Vіdpovіdі durumunda rozmіrnіst: “yalnız” koyduk. Akılda, SCHO tse, milimetre, santimetre, metre chi kilometre söylenmez. Bunun için matematiksel olarak okuryazar çözümler cesur bir formül olacaktır: “bir” - kısaltılmış “bir”.
Farklı bir şekilde, yalnızca belirli bir görev için bayat olmayan lise materyallerini tekrarlıyoruz:
saygı göstermek önemli teknik resepsiyon – kök çarpanının hatası. Sonuç olarak, sonucumuzu hesaplıyoruz ve iyi bir matematiksel stil, z-n_d kökünün çarpanının suçluluğunu aktarıyor (ki bu mümkün). Rapor süreci şöyle görünür: . Açıkçası, görünüşte affedilmeyeceksiniz - ama kesinlikle yeterli değil ve vikladach'ın tarafında olmak için iyi bir argüman.
Eksen ve daha geniş eğimler:
Örneğin, büyük miktarda hasat yapmak için kökün altına çıkmak nadir değildir. Nasıl böyle vipadkalara sahipsin? Hesap makinesinde sayının 4'e bölünebildiğini doğrulamak mümkündür: . Böylece, ulusal olarak böyle bir sıraya bölündü: . Ve belki, 4'e eklemek için gidilecek sayı? . Bu şekilde: . Numaranın geri kalanı eşleştirilmemiş bir numaraya sahiptir, bu nedenle onu 4'e bölmek kesinlikle mümkün değildir. Dokuz eklemeye çalışıyorum: . Sonuç olarak:
Hazır.
Visnovok: Eğer kök bir sayı olarak çıkmazsa, o zaman kökün z-pid çarpanını suçlamaya çalışırız - hesap makinesinde sayıyı şu şekilde kontrol etmek mümkündür: 4, 9, 16, 25, 36, 49 ve benzeri üzerinde.
Günün sonunda, köklerin kökleri genellikle yükseltilir, daha düşük puanlardan ve temel olmayan sorunlardan kurtulmak için her zaman kökün kökünün çarpanlarını kazanmaya çalışın, saygı için kararlarınızı tamamlayın. vikladach'tan.
Hemen karenin köklerinin adımlarını ve diğer adımları tekrarlayalım:
Cebirden bir lise asistanından akıllı görünümlü bir insanda adım adım kuralları öğrenebilirsiniz, ancak sanırım, işaret izmaritlerinden her şey hala açıktır.
Açık alanın yakınında vіdrіzkom'dan bağımsız bir vizyon görevi:
popo 4
Verilen lekeler i. Dozhina vіdrіzka'yı bilin.
Çözüm, ders örneğini takip etmektir.
Bir vektörün uzunluğu nasıl anlaşılır?
Alanın bir vektörü verilirse, alan böyle bir formüle göre hesaplanır.
Uzaya bir vektör verilirse, mesafe formülle hesaplanır. .
VEKTÖR. DIIÜSTÜNDEVEKTÖRLER. SKALARNE,
VECTORNIY, ZMISHANY VIROB VEKTÖRIV.
1. VEKTÖRLER, VEKTÖRLER ÜZERİNDE DII.
Ana randevu.
Randevu 1. Seçilen 1 sisteminde yine sayısal değeri ile karakterize edilen değere denir. skaler veya skaler .
(Masa gövde, hacim, saat ince)
Randevu 2. Sayısal değerlerle ve doğrudan karakterize edilen değere denir. vektör veya vektör .
(Hareket, kuvvet, hareketlilik vb.)
İmza: , veya , .
Geometrik vektör, kaburgaların düzleştirilmesi zinciridir.
Vektör için - nokta ANCAK- Cob, benek saat- Vektörün sonu.
Randevu 3.Modül vektör, AB çelenginin tacıdır.
Randevu 4. Modülü sıfıra eşit olan vektöre denir. sıfır , belirtmek.
Randevu 5. Paralel veya tek bir doğru üzerine çizilen vektörlere denir. doğrusal . İki doğrusal vektör tam olarak aynı olabilirse, kokuya denir. doğrultma ile .
Randevu 6.İki vektör ve saygı eşit , kokuşmuş gibi doğrultma ve modül başına eşittir.
Vektörler üzerinde hareket edin.
1) Vektörlerin eklenmesi.
Def. 6.sumoyu iki vektör ve є durgunluğun köşe noktasından çıkması gereken bu vektörlere dayalı paralelkenarın köşegeni (Paralelkenar kuralı).
Şekil 1.
Def. 7.Üç vektörün toplamı , , bu vektörlere dayalı paralel yüzün köşegeni olarak adlandırılır. (Paralelyüz kuralı).
Def. sekiz. Yakscho ANCAK, saat, W - yeterli puan, sonra + = (trikot kuralı).
incir. 2
Güç eklemek.
1 hakkında . + = + (hareket hukuku).
2 hakkında . + (+) = (+) + = (+) + (iyi yasa).
3 hakkında . + (– ) + .
2) Vektörleri görüntüleyin.
Def. 9. pid perakende vectorіv ben razumіyut vektör = - öyle ki + = .
Paralelkenarda - tse іnsha diyagonal CD (böl. Şekil 1).
3) Bir vektörün bir sayı ile çoğaltılması.
Def. on. Tvorom vektörden skalere k denilen vektör
= k = k ,
dohina olabilir ka , doğrudan, şöyle:
1. zbіgaєtsya z başıboş vektör k > 0;
2. Doğrudan vektörün yanı sıra k < 0;
3. yeterli k = 0.
Bir vektörü bir sayı ile çarpmanın gücü.
1 hakkında . (k + ben ) = k + ben .
k ( + ) = k + k .
2 Ö . k (ben ) = (kl ) .
3 Ö . 1 = , (–1) = – , 0 = .
Vektörlerin gücü.
Def. on bir. Ben denilen iki vektör doğrusal roztashovani'nin kokusu gibi paralel çizgiler veya üzerinde bir düz çizgi.
Boş vektör, herhangi bir vektörle eşdoğrusaldır.
Teorem 1. Sıfır olmayan iki vektör doğrusal, Koku bununla orantılıysa.
= k , k - Skaler.
Def. 12.Üç vektör , , denir aynı düzlemde yakscho, deyakіy dairesine paralel kokuyor veya yanına uzanıyor.
Teorem 2. Sıfır olmayan üç vektör , , aynı düzlemde, bunlardan biri diğer ikisinin lineer bir kombinasyonu ise, o zaman.
= k + ben , k , ben - Scalari.
Genel olarak projeksiyon vektörü.
Teorem 3. Bir vektörün bütünü üzerinde izdüşümü (doğrudan ileri) ben dobutku dobutku dozhini vektör kosinüs kuta mіzh düz vektör ve düz eksen, tobto. = a c işletim sistemi , = ( , ben).
2. VEKTÖR KOORDİNATLARI
Def. 13. Koordinat ekseninde vektör projeksiyonları ey, kuruluş birimi, Öz aranan vektör koordinatları. Tanım: a x , a y , a z .
Dovzhina vektörü:
popo: Vektörün uzunluğunu hesaplayın.
Çözüm:
Noktalar arasında hareket et і aşağıdaki formüle göre hesaplanmalıdır: .
popo: M (2,3,-1) ve K (4,5,2) noktaları arasındaki farkı bulun.
Koordinat formunun y vektörleri üzerinde.
Verilen bir vektör = a x , a y , a z і = b x , b y , b z .
1. ( )= a x b x , a y b y , a z b z .
2. = a x , a y , a z, de - Skaler.
Skaler vitvir vektörü.
Randevu:İki vektörün skaler yaratımı altında
rozumієtsya sayısı, kosinüs kuta z-pomіzh üzerinde dobutku dozhin tsikh vectorіv'e eşit, tobto. = , - Kut vektörleri arasında i.
Skaler yaratmanın gücü:
1. =
2. ( + ) =
3.
4.
5. de - skaler.
6. iki vektör diktir (ortogonal), yani .
7. daha fazla veya daha az .
Koordinat formundaki skaler twir şöyle görünebilir: , ben .
popo: Vektörel skaler televizyonu bilin
Çözüm:
Vektörün vektörü.
Randevu: Vektör altında iki vektör ve bir vektörün oluşturulması anlaşılır, bunun için:
Bu vektörlerden ilham alan paralelkenarın ek alanının modülü, tobto. , ta vektörleri arasında kes
Çarpılan dik vektörlerin Tsey vektörü, tobto.
Vektörler doğrusal olmadığından, pis koku vektörlerin üçlüsünün hakkını verir.
Vektör yaratmanın gücü:
1.Vektör TV'nin çarpanlarının sırasını değiştirirken, kendi dönüş işaretinizi değiştirirsiniz, modülü kaydedersiniz, tobto.
2 .Vektör karesi sıfır vektöre eşittir, tobto.
3 .Yaratılan vektörün sembolü olan tobto için skaler çarpan suçlanabilir.
4 .Herhangi üç vektör için eşitlik adildir
5 . İki vektörün gerekli ve yeterli zihinsel bağlantısı ve:
Vektör TV koordinat biçiminde.
Bu vektörlerin koordinatlarını nasıl biliyorsunuz? , o zaman їхній vektör tvіr aşağıdaki formülle bilinir:
.
Bununla birlikte, vektör oluşturmanın tanımı açıktır, çünkü vektörlere dayanan paralelkenar alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
popo: Köşeleri (1; -1; 2), (5; -6; 2), (1; 3; -1) ile triko alanını hesaplayın.
Çözüm: .
Todi alanı trikutnik ABC aşağıdaki gibi sayılır:
,
Zmishane TV vektörü.
Randevu: Bir vektörün Zmishanim (vektör-skaler) alt bileşenine, formüle atandığı için sayı denir: .
Karışık yaratılışın gücü:
1. Yoga spivmulniki, tobto'nun döngüsel permütasyonları için Zm_shane tvir değişmez. .
2. Değişiklikte iki sus_dn_h sp_multipliers'ın permütasyonu durumunda, tvir zıt işaretini tobto değiştirir. .
3 .Üç vektörün yeterli zihinsel eşdüzlemliliğine ihtiyacı var. : =0.
4 .Zmіshane tvіr trоkh vektorі v dоrіvnіuіє obsyagu paralepiped, pobudovanі tsіh vektörler, artı işareti olarak alınır, tam anlamıyla vektöreldir, tam anlamıyla eksi işaretidir, yakryucho. .
Evdeki gibi koordinatlar vektör_v ,
bu karışıklık tvir şu formülle bilinir:
popo: zm_shane tv_r vector_v'yi hesaplayın.
Çözüm:
3. Vektörler sisteminin temeli.
Randevu. Vektörler sistemi altında aynı uzaya ait vektörlerin sayısını anlamak mümkündür. R.
Saygı duymak. Sistem, vektörlerin son sayısından oluştuğu için, bunlar farklı indekslere sahip bir ve aynı harfle gösterilir.
popo
Randevu. Ne tür bir vektör = vektörlerin lineer kombinasyonu olarak adlandırılır. Sayılar lineer kombinasyonun katsayılarıdır.
popo .
Randevu. Doğrusal bir vektör kombinasyonuna sahip bir vektör gibi , o zaman vektör, vektörler aracılığıyla doğrusal olarak ifade ediliyor gibi görünüyor .
Randevu. vektör sistemi denir lineer-kare, sistemin vektörü diğer vektörlerin lineer bir kombinasyonu olamasa bile. Başka bir şekilde, sistem lineer-nadas olarak adlandırılır.
popo. vektör sistemi doğrusal nadas, çünkü vektör .
Esasa atama. Vektör sistemi temeli oluşturur, böylece:
1) lineer bağımsızdır,
2) uzaya bir vektör olup olmadığı onun üzerinden lineer olarak döner.
örnek 1. Uzay için temel: .
2. Bir vektör sistemi için temel є vektörler: , çünkü vektörler aracılığıyla doğrusal olarak ters çevrilir.
Saygı duymak. Bu vektör sisteminin temelini bilmek için gereklidir:
1) matristeki vektörlerin koordinatlarını yazın,
2) temel dönüşümlerin yardımı için matrisi triko görünümüne getirin,
3) matrisin sıfır olmayan satırları sistemin temeli olacaktır,
4) tabandaki vektörlerin sayısı matrisin rankına eşittir.
VEKTÖR
Fizik ve matematikte bir vektör, doğrudan sayısal değerleri ile karakterize edildiğinden bir değerdir. Fizikte, kuvvet, konum, hız, ivme, moment, neyin sarıldığı, momentum, elektrik ve manyetik alan kuvveti gibi vektörler olan birkaç önemli nicelik vardır. Їх, kütle, hacim, basınç, sıcaklık ve genişlik gibi çok sayıda tanımlanabilen ve pis koku "skaler" olarak adlandırılan diğer değerlerle karşılaştırılabilir. Büyük sayıların yardımı için daha fazlasını istemek imkansız olduğundan, vektör gösterimi niceliklerle çalışırken başarılıdır. Örneğin, bir şarkı noktası gibi bir nesnenin konumunu tanımlamak istiyoruz. Noktadan cisme kaç kilometre olduğunu söyleyebiliriz ama tam yerini tam olarak belirleyemiyoruz, rıhtımları doğrudan bilmiyoruz, hangi şarabı bildiğimizi biliyoruz. Bu sıralamada, nesnenin konumu sayısal değerlerle (kilometre cinsinden ziyaret edilir) ve doğrudan karakterize edilir. Grafiksel olarak, vektörler, Şekil l'deki gibi düz bir çizgide düz çizgiler olarak gösterilir. 1. Örneğin, beş kilogramlık gücü grafiksel olarak temsil etmek için, bik di force'da tek başına beş beş düz bir çizgi ile boyamak gerekir. Ok, kuvvetin A'dan B'ye kadar olduğunu gösterir; yakby gücü d_yala B'den A'ya, sonra abo yazdık Anlaşılır olması için vektörler ve sesler kalın büyük harflerle gösterilir (A, B, C vb.); A ve -A vektörleri eşit sayısal değerlere sahip olabilir, ancak zıt değerlere sahip olamaz. Vektörün sayısal değeri modulo chi olarak adlandırılır ve A chi |A| ile gösterilir. Değer, açıkça, bir skalerdir. Vektör, koçanı ve bir şeyin sonu sıfır olarak adlandırılır ve O ile gösterilir.
İki vektöre eşit (veya eşit değil) denir, çünkü modülleri doğrudan birleştirilir. Ancak mekanik ve fiziksel fonksiyonlarda kendinizi korumak gerekir, vücudun çeşitli noktalarına uygulanan iki eşit kuvvetin parçaları ve vahşi bir depresyonda çeşitli sonuçlara yol açarlar. Cym vektörleriyle bağlantıda, aşağıdaki sırayla "pov'yazanі" veya "kovzayuch" olarak alt bölümlere ayrılır: Vektörlerin bağlantısı ve zastosuvannya noktalarını düzeltebilir. Örneğin, yarıçap vektörü, sabit bir koordinat koçanı üzerindeki bir noktanın konumunu gösterir. Vektörler bağlı ve vvazhayutsya eşit, sanki kokuşmuş zbіgayutsya modüller gibi ve dümdüz, aynı zamanda raporun ana noktası gibi. Zovnіshnіmi vektörlerine eşit vektörler, bir düz çizgi üzerinde roztashovanny denir.
Vektör depolama. Viniklerde vektörleri katlama fikri, aynı anda iki veya daha fazla vektör olan aynı akış olabilen tek bir vektörü bilebilmemizdir. Yani, bitiş noktasına ulaşmak için, bir düz çizgide A kilometreyi ve ardından bir sonraki düz çizgide B kilometreyi yürümemiz gerekiyor, sonra üçüncü düzlükte C kilometreyi geçerek bitiş noktamıza ulaşabiliriz. çizgi (Şek. 2). Bunu kimin aklıyla söyleyebilirsin
A+B=C.
C vektörüne "sonuçlanan vektör" A ve B denir; A ve B vektörlerinde, yanlarda bir paralelkenar oluşturulmuştur ve C, koçanı A ve B ucunu birleştiren bir köşegendir. 2 vektörlerin eklenmesinin "değişmeli" olduğu görülebilir, yani. A + B = B + A. Benzer şekilde, Şekil 2'de gösterildiği gibi "kalıcı bir lanset" ile arka arkaya takip eden bir vektör serpme ekleyebilirsiniz. 3 D, E ve F vektörü için 3 şek. 3 de gösteriyor ki
(D+E)+F=D+(E+F), yani. vektörü ilişkisel olarak ekleme. Vektörlerin sayısını özetlemek mümkündür, ayrıca vektörlerin aynı düzlemde olması dilsel olarak ilişkili olması gerekmez. Vіdnіmannya vektorіv, negatif vektöre ek olarak temsil edilir. Örneğin, A - B \u003d A + (-B), de, daha önce belirtildiği gibi, -B, modülde eşit, ancak düz bir çizginin arkasında protil olmayan bir vektördür. Bu kural şimdi yeniden doğrulama için gerçek bir kriter olarak eklenebilir, vektör chi ni tarafından tek bir değerdir. Hangi zihinlerin altında hareket eden sesler; aynı şeyi swidkosti için de söyleyebilirsiniz; kuvvetler, "kuvvetlerin trikutnik" inden bulo bachiti yapmak mümkün olduğu için kendi başlarına toplanır. Ancak bu kadar doğrudan sayısal değerler olarak düşünülebilecek değerler bu kurala uymaz, vektör olarak görülemez. Popo bir kіntse sargısıdır.
Bir vektörü bir skaler ile çarpma.Твір mA veya Am, de m (m № 0) bir skalerdir ve A sıfır olmayan bir vektördür, ikinci vektör olarak seçilir, A için m kez gitti ve doğrudan A olabilir, çünkü sayı m pozitiftir, i daha uzundur, dolayısıyla m negatiftir, Şekil l'de gösterildiği gibi. 4, de m dorovnyuє 2 ve -1/2 vіdpovіdno. Alt taraftan, 1A = A, öyleyse. 1 ile çarpıldığında vektör değişmez. -1A değeri, A'dan uzun süre daha uzun olan bir vektördür, ancak dümdüz ise -A olarak yazılmalıdır. A bir sıfır vektörü ve (veya) m = 0 ise, mA bir sıfır vektörüdür. Çoğul, dağıtıcıdır, yani.
Bir dizi vektör ekleyebiliriz ve toplamaların sırası sonucu etkilemez. Verno ve zvorotne: bir vektörün iki "bileşene" daha bölünüp bölünmediği, yani. iki veya daha fazla vektör, yak, katlanarak, kapasitede ortaya çıkan vektörün bir çıktı vektörünü verecektir. Örneğin, Şek. 2, A ve B - C'nin bileşenleri. Vektörlerle ilgili birçok matematik problemine veda edebiliriz, böylece vektörü birbirine dik üç çizgi için üç bileşene bölebiliriz. Şekilde gösterildiği gibi Ox, Oy ve Oz eksenleriyle doğru Kartezyen koordinat sistemini seçiyoruz. 5. Sağ koordinat sistemi altında sağ elde yapamıyoruz yani x, y ve z eksenleri sağ elin büyük, etkileyici ve orta parmağı gibi dikilebilecek şekilde dikilebiliyor. . Bir sağ koordinat sisteminden başka bir sağ koordinat sistemini farklı sarmalara alabilirsiniz. Şek. Şekil 5, vektör A'nın üç bileşene ayrışmasını gösterir, yani toplam olarak, vektör A'yı ekleyin, böylece
otze,
A vektörünün üç koordinat eksenine, Ax, Ay ve Az işaretlerine izdüşümlerine A vektörünün "skaler bileşenleri" denir:
de a, b і g - A ve üç koordinat ekseni arasında kesin. Şimdi, x, y і z ile aynı düz çizgi olabilen i, j k (orthy) tek değerli üç vektörü tanıtıyoruz. O zaman, eğer Ax i ile çarpılırsa, o zaman tvir'i çıkarmak bir vektördür, i'ye eşittir
İki vektör, aynı skaler bileşenlere eşitse, aynı ve daha az aynıdır. Ayrıca, A = B ve sonra, eğer Ax = Bx ise, Ay = By, Az = Bz. Bileşenleri eklenerek iki vektör eklenebilir:
Ayrıca Pisagor teoreminin arkasında:
Doğrusal fonksiyonlar. a ve b'nin skaler olduğu Viraz aA + bB, A ve B vektörlerinin lineer bir fonksiyonu olarak adlandırılır. A ve B ile aynı düzlemde olan bir vektördür; A ve B paralel değilse, a ve b değiştirilirken, aA + bB vektörü tüm düzlem üzerinde hareket edecektir (Şekil 6). A, B ve C aynı düzlemde bulunmasa da, aA + bB + cC vektörü (a, b ve c değişimi) uzay boyunca hareket eder. A, B ve C'nin tek i, j ve k vektörleri olduğunu varsayın. ai vektörü x ekseni üzerinde yer alır; ai + bj vektörü tüm xy alanı boyunca hareket edebilir; ai+bj+ck vektörü tüm uzayda hareket edebilir.
Birkaç karşılıklı dik vektör seçmek mümkün olacaktır i, j, k і l
dozhina ile
Ve ölüm sayısı beş, altı olana kadar devam etmek mümkün olacaktı. Böyle bir vektörü görsel olarak ortaya çıkarmak imkansız olsa da, burada günlük matematiksel zorluklar yoktur. Böyle bir kayıt genellikle bozulur; örneğin, çöken bir parçacığın kampı, bileşenleri uzayda - її olan altı boyutlu bir vektör P (x, y, z, px, py, pz) ile tanımlanır (x, y, z) ve momentum (px, py, pz). Böyle bir uzaya "faz uzayı" denir; eğer iki parça görebilirsek, o zaman faz uzayı 12-dünyadır, eğer üç tane varsa, o zaman 18 vb. Boyut sayısı sınırsız olarak artırılabilir; Bu değerle, sağda kakim mi matimemo ile aynı olmasının birçok nedeni var, yak tі, yaki mi devletin bir bölümünde ve kendi içinde trivimirn_ vektörleri görülebilir.
İki vektörün çoğaltılması. Vektörleri katlama kuralı, vektörlerle temsil edilen niceliklerin davranışını değiştirmek yoluyla ortadan kaldırılır. Görünür bir neden yoktur, iki vektör gibi herhangi bir şekilde çarpmak mümkün olmaz, sensörü çarpma işlemi sadece bu durumda, matematiksel yeteneğini göstermek mümkün olduğu için; üstelik bazhano, schob tvir mav şarkı söyleyen fiziksel zmist. Vektörleri çarpmanın iki yolunu Іsnuyut, yakі vіdpovіdat tsim zihinleri. Bunlardan birinin sonucu bir skalerdir, böyle bir yaratmaya iki vektörün "skaler yaratma" veya "iç yaratma" denir ve ACHB veya (A, B) yazılır. Başka bir çarpmanın sonucu, "vektör oluşturma" veya "dış oluşturma" olarak adlandırılan ve A*B veya [] olarak yazılan bir vektördür. Skaler yaratımlar bir, iki veya üç vimiryuvan için fiziksel bir fark olabileceği gibi, sadece üç vimiryuvan için belirlenmiş bir vektör yaratımı da olabilir.
skaler oluşturun. Sanki F mevcut kuvveti altında, uygulandığı nokta r çıkışına hareket ediyormuş gibi, robot r'yi kurtarmak için daha pahalıdır ve F bileşeni doğrudan r'dir. Tsya bileşeni daha pahalıdır F cos bF, rc de bF, rc - kut mizh F і r, tobto. Vikonana robotu \u003d Fr cos bF, rc. Bu, ek bir formül için herhangi iki A, B vektörü için atanan bir skaler yaratımın fiziksel bir topraklamasına bir örnektir.
A * B = AB cos bA, Bc.
Hizalamanın sağ kısmındaki tüm değerlerin skaleri skalerdir, A*B = B*A; Yine, skaler çarpma değişmeli. Skaler çarpma aynı zamanda dağıtma gücüne de sahiptir: A*(B + C) = A*B + A*C. A ve B vektörleri dik ise, o zaman cos bA, Bc sıfıra eşittir, yani A*B = 0, aksi takdirde A ve B sıfıra eşit değildir. Kendi başına, onu bir vektöre bölemeyiz. Diyelim ki A * B = A * C'nin hakaret eden kısımlarını A'ya böldük. Eğer b B = C, i verdiyse, vicconate etmek mümkün olsaydı, bu eşitlik mümkün olan tek sonuç oldu. Bununla birlikte, A * (B - C) = 0 açısından A * B = A * C'yi yeniden yazabilmemize ve (B - C)'nin bir vektör olduğunu tahmin etmemize rağmen, (B - C)'nin dilsel olarak zorunlu olmadığı açıktır. sıfıra eşit Ve sonra, B suçlanacak ama C'ye eşit. Sonuçlar, vektörün hayal edilemez bir şekilde başarısız olduğunu gösteriyor. Skaler toplama, vektörün sayısal değerini (modülü) yazmanın bir yolunu daha verir: A * A = AA * cos 0 ° = A2;
Buna
Skaler TV başka bir şekilde yazılabilir. Kimin için ne olduğunu tahmin edebiliriz: A \u003d Axe i + Ayj + Azk. buna saygı duyuyoruz
Todi,
Parçalar x'e eşit kalır, alt indeksler olarak y z, eşit, seçilen belirli koordinat sisteminde yatmak için b verildi. Ancak randevudan da anlaşılacağı gibi her iki koordinat ekseninde de yatmayacak şekilde değildir.
Vektör oluşturun. Bir vektöre veya bir vektörün benzer bir oluşturulmasına, modülü, modüllerinin kuta'nın sinüsüne ek bir eklenmesi, dış vektörlere dik ve onlarla birlikte sağ üçe eklenmesi olan bir vektör olarak adlandırılır. Bu tvir'i tanıtmak, shvidkіst ve kutovoy swidkіst arasındaki spіvvіdnoshennia'ya bakarak daha kolaydır. persha - vektör; Şimdi geri kalanın bir vektör olarak yorumlanabileceğini gösteriyoruz. Kutova swidkіla, scho sarma, saldırgan bir rütbe ile işaretlenir: hadi bu nokta üzerinde bir nokta seçelim ve noktanın merkezinden sargının eksenine dik bir çizelim. Todіtа kutova shvidkіst tіla - yakі tsia hattındaki radyan sayısı bir saat içinde döndü. Yakshko kutova swidkіst - vektör, anne düz sayısal değerden suçludur. Rakamsal değer saniye başına radyan cinsinden ifade edilir, sargının eksenini doğrudan seçebilirsiniz, vektörü dümdüz yönlendirerek hesaplayabilirsiniz, sağ vidanın gövde ile aynı anda sarıldığında çökeceği. Dovkol sabit ekseninin gövdesinin sarılmasına bakalım. Yüzüğün tamamını yüzüğün ortasına koyarsanız, yanınızdaki dingile sabitlenirse, ikinci halkanın ortasına takılırsa, gövdeyi ilk halkanın ortasına apex swidkistyu w1 ile sarabiliriz ve sonra iç yaka zmushiti Malyunok 7 hakkın özünü açıklıyor; dairesel oklar düz sarmaları gösterir. Tüm vücut, merkezi Pro ve yarıçapı r olan katı bir küredir.
Pirinç. 7. ORTA OLAN KÜRE O, BC kenarının ortasında w1 apeks genişliği ile sarılır, tıpkı siyahı ile DE kenarının ortasında bir w2 tepesi ile sarılır. Küre, daha zengin bir üst girdap toplamına sahip bir üst girdap ile sarılır ve düz çizgi POP üzerindeki tüm noktalar sakin bir yerdedir.
İki farklı shvidkos gövdesinin toplamı olan Nadamo tіlu ruh. Hangi acelenin biteceğini göstermek önemlidir, ancak bitirmek için vücudun artık sabit bir eksene sarılmadığı açıktır. Prote'nin yine tersine döneceği söylenebilir. Göstermek için, belirli bir anda kürenin yüzeyini herhangi iki eksende kesen çok sayıda noktada olduğu gibi, vücudun yüzeyinde bir P noktası seçelim. Eksen üzerindeki P'den dikeyleri atlayın. Bu dikeyler yarıçap haline gelir PJ ve PK ve PQRS ve PTUW açıktır. Kürenin merkezinden geçer gibi düz bir çizgi çizelim. Şimdi, bakılmakta olan saat anında P noktası, sanki P noktasına yapışıyormuş gibi kazıklar boyunca bir saat hareket eder. Küçük bir Dt zaman aralığı için, P diğerine hareket eder.
Qia vіdstan dorivnyuє sıfır, yakscho
Bu şekilde P noktası eldivenin dinginliği durumundadır ve tam olarak aynı şekilde tüm noktalar düz çizgi POP üzerindedir. kendi alt noktasının etrafında.
Bahis yarıçapına göre r sin w1. Randevu için kutova shvidkіst
En iyi formüller ve spіvvіdnoshennia (1) otrimaєmo
Yani sayısal değerleri yazıp doğrudan yukarıda anlatıldığı gibi en yüksek hızı seçerseniz değerler bir vektör gibi toplanır ve böyle bakılabilir. Artık vektör TV gönderebilirsiniz; başlık w girdap ile saran gövdeyi görebiliriz. Gövde üzerindeki P noktasının, sargı ekseninde olduğu gibi O koordinatlarının koçanı olup olmadığını seçiyoruz. r, O'dan P'ye yönlenen bir vektör olsun. P noktası kazık boyunca V = wr sin (w, r) hızıyla çöker. Hız vektörü V, kazığa yakındır ve Şekil 1'de gösterildiği gibi dümdüz ileriyi gösterir. sekiz.
Tsіvnyannja Zalezhnі Svidnostі Point V vіdіnїїїїїїїї tVOKH vіvіvі v і r. Vikoristovuєmo tse spіvvіdnoshennia, schob yeni bir yaratılış türünü ifade eder, onu yazıyoruz: V = w * r. Oskіlki böyle bir çarpmanın sonucu bir vektördür, bütün tvіr vektör olarak adlandırılır. A * B = C gibi herhangi iki A ve B vektörü için, o zaman C = AB sin bA, Bc ve C vektörünün yönü, düzleme dik olacak şekildedir, böylece A ve B'den geçer ve C'ye paralel olan ve A'dan B'ye dolanan sağ sarma vidasının düz bir dönüşüyle düz bir çizgide çalıştığını gösterir. Başka bir deyişle, A, B ve C'nin bu sırayla dizildiğini söyleyebiliriz, doğru koordinat eksenleri kümesini oluşturun. Vektör dobootok anti-değişmeli olarak; B * A vektörü, A * B ile aynı modül olamaz, ancak protile alanının direktifleri olabilir: A * B = -B * A. Çizgi dağıtıcıdır, ancak birleştirici değildir; ne getirebilir
Vektör toplamanın bileşenler ve tek vektörler cinsinden nasıl yazıldığını merak ediyoruz. Şimdi, hangi A vektörü olursa olsun, A * A = AA sin 0 = 0.
Ayrıca, birkaç tek vektör için i * i = j * j = k * k = 0 ben ben * j = k, j * k = i, k * i = j. Todi,
Qiu kıskançlığı ustabaşına da yazılabilir:
A * B = 0 ise, A veya B 0'a eşittir veya A ve B eşdoğrusaldır. Bu sırada, skaler bir yaratılış gibi, bir imkansızlık vektörüne düştüm. A * B'nin değeri, A ve B kenarları olan paralelkenarın alanı ile aynıdır. B sin bA, Bc - th yüksekliği ve A - tabanı nedeniyle bachiti kolaydır. Vektör kreasyonları olan birçok başka fiziksel miktar kullanın. En önemli vektör oluşumlarından biri teorik olarak elektromanyetizmadır ve Poynting vektörü P olarak adlandırılır. Bu vektör şu şekilde ayarlanır: P = E * H, burada E ve H aynı şekilde elektrik ve manyetik alanların vektörleridir. P vektörü, herhangi bir nokta için metrekare başına watt cinsinden enerji akışı için bir görev olarak görülebilir. Birkaç uygulama daha ekleyelim: Noktaya yönlendirilen koordinatların koçana göre kuvvet momenti F (tork momenti), r olan yarıçap-vektörü r * F olarak atanır; bölüm, r noktasında scho znahoditsya, masoyu m shvidkіstyu V, maє kutovy anı mr * V shodo koçanı koordinatları; B zі shvidkіstyu V, є qV * B manyetik alanı boyunca elektrik yükü taşıyan bir parçacığa hareket eden kuvvet.
oluşturmaya çalışın.Üç vektörden aşağıdaki üç vektörü oluşturabiliriz: vektör (A * B) * C; vektör(A*B)*C; skaler (A*B)*C. İlk tip, C vektörünün ve skaler A * B'nin eklenmesidir; zaten bu tür şeylerden bahsetmiştik. Diğer tür, temel vektör oluşturma olarak adlandırılır; A * B vektörü düzleme dik, A і B, buna (A * B) * C - A düzlemine uzanan vektör, C dik C. bir A * (B * C). x, y і z i eksenleri boyunca їх koordinatları (bileşenler) aracılığıyla A, B і C yazdıktan ve çarparak, A * (B * C) = B * (A * C) - C * (A * B) olduğunu gösterebilirsiniz. ). Katı bir cismin fiziğindeki çapakların büyümesi için suçlanan üçüncü tür yaratılış, A, B, C nervürlü paralelyüzün hacminden sayısal olarak daha önemlidir. Skaler (A * B) * C = A*(B*C), skaler ve vektör çarpanlarının işaretlerini ay değiştirebilirsiniz ve tvir genellikle (A B C) olarak yazılır. Tsey tvir dorivnyu vyznachnik
Üç vektörün tümü aynı düzlemde bulunuyorsa (A B C) = 0 veya A = 0 veya (i) B = 0 veya (i) C = 0 olduğuna dikkat edin.
VEKTÖR FARKI
U vektörünün bir skaler değişken t'nin bir fonksiyonu olduğunu varsayalım. Örneğin, U bir yarıçap vektörü olabilir, koordinatların koçandan hareket eden noktaya ve t - saate kadar çizelim. t'nin küçük bir Dt değeri kadar değişmesine izin verin, bu da DU'nun değerini U'daki bir değişikliğe getirecektir. Tse, Şek. 9. DU/Dt, DU gibi doğrudan yönlendiren bir vektördür. U ve t arasındaki farkı şöyle hesaplayabiliriz:
zihniniz için, böyle bir sınır nedir. Diğer tarafta, U'yu üç eksen boyunca bileşenlerin toplamı olarak algılayabilir ve kaydedebilirsiniz.
U yarıçap vektörü r iken, dr/dt saatin bir fonksiyonu olarak ifade edilen noktanın hızıdır. Prodiferansiyasyondan sonra bir saat daha fazla, mümkün olan en kısa sürede alıyoruz. Noktanın Şekil l'de gösterilen bir eğri boyunca hareket ettiğini varsayalım. 10. Hadi s - çık, eğrinin noktasından geçti. Bir saat Dt için küçük bir aralığı gererek, nokta Ds vdovzh eğrisinden geçecektir; yarıçap vektörünün konumu Dr olarak değiştirilir. Otzhe, Dr/Ds - Dr. dali
Vektör Dr - yarıçap vektörünü değiştirin.
є tek vektör, scho osuetsya eğrileri. Q noktası P noktasına yaklaşıldığında, PQ'nun noktaya, Dr'ın Ds'ye yaklaştığı gerçeğinden görülebilir. Yaratılışı ayırt etmeye yönelik formüller, skaler işlevlerin oluşturulmasını ayırt etmeye yönelik formüllere benzer; bununla birlikte, vektör toplamanın parçaları anti-değişmeli olarak, çarpma sırası tasarruftan kaynaklanmaktadır. Tom,
Bu sıralamada, eğer bir vektör bir skaler fonksiyonun fonksiyonu ise, o zaman aynı şeyi skaler bir fonksiyon gibi gösterebileceğimize inanıyoruz.
Vektör ve skaler alan. Gradyan. Fizikte, verilen alanda noktadan noktaya değiştikçe, anneler genellikle vektör veya skaler nicelikler ile sağa getirilir. Bu tür alanlara "alanlar" denir. Örneğin, bir skaler sıcaklıkla temizlenebilir; vektör swidkistyu rіdini, scho çöküşü veya şarj sisteminin elektrostatik alanı olabilir. İlk kez bir koordinat sistemi seçtiysek, verilen alandaki P (x, y, z) noktası aynı yarıçap vektörü r (= xi + yj + zk) ve vektör miktarının değeri olmalıdır. U (r) veya skaler f (r ) ona bağlı. U ve f'nin açık bir şekilde alanlara atandığı varsayılır; tobto. cilt noktasının bir veya yalnızca bir U veya f değeri vardır, ancak farklı noktalar farklı değerlere sahip olabilir. Bölge değiştirirken U ve f'nin değiştiği İsveçliliği anlatmak istediğimizi varsayalım. Beni özel olarak bağışlayın, yani dU / dx ve df / dy gibi biz iktidarda değiliz, çünkü koku belirli koordinat eksenlerinde yatıyor. Ancak, koordinat eksenlerinin seçiminden bağımsız bir vektör diferansiyel operatörünü tanıtmak mümkündür; Bu operatöre "gradyan" denir. F skaler alanından sağa gitmeme izin verin. Arkada popo gibi bölgenin kontur haritasına bakabiliriz. І burada f - deniz seviyesinden yükseklik; kontur çizgileri, bir ve aynı f değerlerine sahip noktaları birleştirir. ruhu vzdovzh saatinin altında, ister tsikh satırları olsun, değişmez; bu çizgilere dik olarak çökerse değişim hızı maksimum olur. Değeri ve doğrudan f hızındaki maksimum değişimi gösteren cilt noktası vektörünü ayarlayabiliriz; Böyle bir harita ve bu vektörlerin aktiviteleri, Şek. 11. Alanın yüzey noktalarını seçersek, f skaler alanıyla bağlantılı vektör alanını alırız. Bu, "gradyan" f olarak adlandırılan ve grad f veya Cf olarak yazılan vektörün alanıdır (sembol "nabla" olarak da adlandırılır).
Üç kez, kontur çizgileri yüzeyler haline gelir. Erkek usunennia Dr (= iDx + jDy + kDz) f'nin değişmesine neden olur, bu yüzden şöyle yazılır
noktalar siparişlerin üyeleridir. Tsey viraz, skaler bir yaratılışın görüşünde kaydedilebilir
Terazinin sağını ve solunu Ds üzerine bölelim ve Ds sıfır olmasın; ayrıca
burada dr/ds doğrudan titreşimin tek vektörü y'dir. Yuvarlak kemerlerin yanındaki Viraz, bir nokta şeklinde uzanması gereken bir vektördür. Bu sıralamada df/ds maksimum değer olabilir eğer dr/ds direk olarak şakaklarda duran viraz degrade olarak söylerse. bu şekilde,
- F shodo koordinatlarının maksimum değişim hızı ile doğrudan i zbіgaєtsya y değerine eşit olan bir vektör. Gradyan f genellikle şu şekilde yazılır:
Tse, C operatörünün kendini açıklayıcı olduğu anlamına gelir. Zengin şarap türleri için bir vektör gibidir ve aslında bir "vektör diferansiyel operatörüdür" - fizikteki en önemli diferansiyel operatörlerden biridir. Tek i, j і k vektörlerinin intikamını alanlardan bağımsız olarak, aynı koordinat sistemine herhangi bir fiziksel nesne yerleştirmek mümkün değildir. Cf ve f arasındaki bağlantı nedir? f'nin herhangi bir noktanın potansiyelini ifade etmesi bizim için kabul edilebilir. Bazı küçük yer değiştirme Dr ile, f değeri
q bir değerse (örneğin, kütle, yük), Dr'a taşındı, ardından robot, vikonan, q Dr'a taşındığında.
Dr yer değiştirme olduğundan, qСf kuvvettir; -Сf - Gerginlik (birim başına kuvvet kіlkostі), f ile bağlantılı. Örneğin, U - elektrostatik potansiyele izin verin; daha sonra E - E = -СU formülü ile verilen elektrik alan gücü. U'nun koordinatlar koçanı üzerine yerleştirilmiş bir nokta elektrik yükü q coulomb tarafından yaratıldığını varsayalım. Yarıçap vektörü r ile P (x, y, z) noktasındaki U değeri formülle verilir.
De e0 - dielektrik postiyna boş alan. Tom
Yıldızlar, E'nin dümdüz olduğu ve bu değerin q/(4pe0r3)'e eşit olduğu açıktır. Skaler alanı bilerek, onunla ilişkili vektör alanı bulunabilir. Ayrıca mümkün ve protilezhne. Matematiksel bir bakış açısından, skaler alanların işlenmesi daha kolaydır, daha düşük vektör, kokuşmuş kırıklar koordinatların bir fonksiyonu ile verilirken, vektör alanı, vektörün bileşenlerine üç yönde benzeyen üç fonksiyona sahiptir. . Bu şekilde şu soruyu suçlarız: Bir vektör alanı neden verilir, bununla ilgili bir skaler alanı nasıl yazabiliriz?
Diverjans ve rotor. di ї'nin sonucunu skaler bir fonksiyon üzerinde besledik. C'yi bir vektöre zastosuvat yapmak nasıl olurdu? Є iki olasılık: Let U(x, y, z) - vektör; o zaman vektörü, gelen rankla aynı skaler hale getirebiliriz:
Tsikh viraziv'in ilki bir skalerdir, sapma derecesi U'dur (divU ile gösterilir); diğeri bir vektör, rotor U'nun adları (rotU ile gösterilir). Sayısal diferansiyel fonksiyonlar, diverjans ve kıvrılma, matematiksel fizikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Gerçek bir vektör olduğunuzu ve mevcut bölgede güvende olacağınızı gösterin. P - galeride, DV hacmini çevreleyen küçük bir kapalı yüzey S ile keskinleştirilmiş bir nokta olsun. n - cilt noktasında yüzeyin merkezine dik olan tek bir vektör (yüzeyde Rusça'da düz bir çizgide n değişiklik, ancak tek bir dohina olabilir); İsmin n direktifini verin. ne olduğunu gösterelim
Burada S, integrallerin tüm yüzeyler üzerinde alındığını gösterir, da, S yüzeyinin bir elemanıdır. Basitlik için, S formunu bizim için Dx, Dy ve Dz kenarları olan küçük bir paralelyüz (Şekil 12'de gösterildiği gibi) olarak seçiyoruz. ; P noktası paralel borunun merkezidir. Paralel borunun bir tarafındaki kıvrımın (4) hizasının integralini hesaplayalım. Ön yüz için n = i (yalnızca x eksenine paralel vektör); Da = DyDz. Yolun ön yüzündeki integrale katkı
Proliferatif yüzde n=-i; bu yön integrale dahildir
Taylor teoremine göre, iki yüze ağır bir depozit alıyoruz.
Saygılarımla, DxDyDz = DV. Benzer şekilde, diğer iki yüz çiftinin katkısını hesaplayabilirsiniz. En son integral daha
ve DV(r)0 koyabilirsek, terim daha yüksek bir sırada görünecektir. Formülün arkasında (2) viraz kemerlerde - tse divU, eşitlik getirmek için (4). Rivnist (5) aynen böyle getirilebilir. Acele et yine pirinç. 12; entegre kenarda ön yüzde aynı yerleştirme
І, Taylor teoremini kullanarak, iki yüzden integrale toplam katkının görülebileceğini hesaba katıyoruz.
tobto. Rivniana'da rotU virüsünün iki üyesi vardır (3). Diğer dört üye, diğer dört taraftaki yatakların şekline göre görülecektir. Aslında ne anlama geliyor? Kıskançlığa (4) bakalım. Diyelim ki U - shvidkіst (örneğin, rіdini). Sonra nChU da \u003d Un da de Un є U vektörünün yüzeye normal bileşeni. Bunun için, bir saatte da içinden akan Un da - tse obsjag r_dini ve bir saatte S içinden akan tse obsjag rіdini. otze,
Shvidkіst razshirennya bekarlar P. Zvіdsi ayrışması noktasında obsyag adını aldı; bu, düzlemin z'yi (içinde uzaklaşmak için) P genişlediği hızı gösterir. U rotorunun fiziksel önemini açıklamak için, P noktasını gösteren küçük silindirik hacim h üzerindeki diğer yüzey integraline bakabiliriz; düzlem-paralel yüzeyler, hangisini seçersek seçelim, herhangi bir doğrudan yolla yönlendirilebilir. k - cilt yüzeyine tek bir dikey vektör verin ve cilt yüzeyinin DA alanını bırakın; aynı toplam DV = hDA (Şekil 13). Şimdi integrale bakalım