Чому дорівнює сума кутів багатокутника? Багатокутники
Ламана
Визначення
Ламаною лінією, або коротше, ламаною, називається кінцева послідовність відрізків, така, що один з кінців першого відрізка служить кінцем другого, інший кінець другого відрізка служить кінцем третього і т.д. При цьому сусідні відрізки не лежать на одній прямій. Ці відрізки називають ланками ламаною.
Види ламаної
Ламана називається замкненоюякщо початок першого відрізка збігається з кінцем останнього.
Ламана може перетинати сама себе, торкнутися сама себе, налягати на себе. Якщо таких особливостей немає, то така ламана називається простий.
Багатокутники
Визначення
Проста замкнута ламана разом із частиною площини, обмеженою нею, називається багатокутником.
Зауваження
У кожній вершині багатокутника його сторони задають певний кут багатокутника. Він може бути як менше розгорнутого, так і більше розгорнутого.
Властивість
Кожен багатокутник має кут, менший $180^\circ$.
Доказ
Нехай дано багатокутник $P$.
Проведемо якусь пряму, що не перетинає його. Переміщатимемо її паралельно у бік багатокутника. У певний момент ми вперше отримаємо пряму $a$, що має із багатокутником $P$ хоча б одну загальну точку. Від цієї прямої багатокутник лежить по одну сторону (при цьому деякі точки лежать на прямій $a$).
На прямій $a$ лежить бодай одна вершина багатокутника. У ній сходиться дві його сторони, розташовані по одну сторону від прямої $a$ (вважаючи і той випадок, коли одна з них лежить на цій прямій). А значить, при цій вершині кут менший за розгорнутий.
Визначення
Багатокутник називається опуклимякщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що містить його сторону. Якщо багатокутник не є опуклим, його називають невипуклим.
Зауваження
Випуклий багатокутник є перетином напівплощин, обмежених прямими, що містять сторони багатокутника.
Властивості опуклого багатокутника
У опуклого багатокутника всі кути менші за $180^\circ$.
Відрізок, що з'єднує будь-які дві точки опуклого багатокутника (зокрема будь-яка його діагональ), міститься в цьому багатокутнику.
Доказ
Доведемо першу властивість
Візьмемо будь-який кут $A$ опуклого багатокутника $P$ та його сторону $a$, що йде з вершини $A$. Нехай $l$ – пряма сторона $a$. Оскільки багатокутник $P$ опуклий, він лежить з одного боку від прямої $l$. Отже, його кут $A$ лежить по одну сторону від цієї прямої. Значить кут $A$ менший за розгорнутий кут, тобто менше $180^\circ$.
Доведемо другу властивість
Візьмемо будь-які дві точки $A$ і $B$ опуклого багатокутника $P$. Багатокутник $P$ є перетином декількох напівплощин. Відрізок $AB$ міститься у кожній із цих напівплощин. Тому він міститься і в багатокутник $P$.
Визначення
Діагоналлю багатокутниканазивається відрізок, що сполучає його несусідні вершини.
Теорема (про кількість діагоналей n-кутника)
Кількість діагоналей опуклого $n$-кутника обчислюється за формулою $\dfrac(n(n-3))(2)$.
Доказ
З кожної вершини n-кутника можна провести $n-3$ діагоналі (не можна провести діагональ у сусідні вершини і саму цю вершину). Якщо порахувати всі такі можливі відрізки, їх буде $n\cdot(n-3)$, оскільки вершин $n$. Але кожну діагональ буде пораховано двічі. Таким чином, кількість діагоналей n-кутника дорівнює $ dfrac (n (n-3)) (2) $.
Теорема (про суму кутів n-кутника)
Сума кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n-2)$.
Доказ
Розглянемо $n$-кутник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.
Візьмемо всередині цього багатокутника довільну точку $O$.
Сума кутів усіх трикутників $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ дорівнює $180^\circ\cdot n$.
З іншого боку ця сума складається із суми всіх внутрішніх кутів багатокутника та повного кута $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.
Тоді сума кутів аналізованого $n$-кутника дорівнює $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Слідство
Сума кутів неопуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n-2)$.
Доказ
Розглянемо багатокутник $A_1A_2\ldots A_n$, у якого тільки кут $\angle A_2$ не опуклий, тобто $\angle A_2>180^\circ$.
Позначимо суму його уловів $S$.
З'єднаємо точки $A_1A_3$ і розглянемо багатокутник $A_1A_3\ldots A_n$.
Сума кутів цього багатокутника дорівнює:
$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.
Отже, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.
Якщо у вихідного багатокутника більше одного неопуклого кута, то описану вище операцію можна виконати з кожним таким кутом, що і призведе до затвердження, що доводиться.
Теорема (про суму зовнішніх кутів опуклого n-кутника)
Сума зовнішніх кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $360^\circ$.
Доказ
Зовнішній кут при вершині $A_1$ дорівнює $180^\circ-\angle A_1$.
Сума всіх зовнішніх кутів дорівнює:
$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2) = 360 ^ \ circ $.
Для випадку опуклого n-кутника
Нехай A 1 A 2 . . . A n (\displaystyle A_(1)A_(2)...A_(n))- даний опуклий багатокутник і n>3. Тоді проведемо з однієї вершини до протилежних вершин ( n− 3) діагоналі: A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 5 . . . A 1 A n − 1 (\displaystyle A_(1)A_(3),A_(1)A_(4),A_(1)A_(5)...A_(1)A_(n-1)). Так як багатокутник опуклий, ці діагоналі розбивають його на ( n− 2) трикутника: A 1 A 2 A 3 , A 1 A 3 A 4 , . . . , Δ A 1 A n − 1 A n (\displaystyle \Delta A_(1)A_(2)A_(3),\Delta A_(1)A_(3)A_(4),...,\Delta A_ (1)A_(n-1)A_(n)). Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів у кожному трикутнику дорівнює 180 °, а число цих трикутників є n− 2 . Отже, сума кутів n-кутника дорівнює 180 ° ( n − 2) . Теорему доведено.
Зауваження
Для неопуклого n-кутника сума кутів також дорівнює 180 ° ( n− 2) . Доказ може бути аналогічним, використовуючи на додаток лему про те, що будь-який багатокутник може бути розрізаний діагоналями на трикутники, і не спираючись на те, що діагоналі проведені обов'язково з однієї вершини (обмежене такою умовою розрізання неопуклого багатокутника не завжди можливе в тому сенсі, що у неопуклого багатокутника не обов'язково є хоча б одна вершина, всі діагоналі з якої лежать усередині багатокутника, як і трикутники, які вони утворюють).
Дані геометричні фігури оточують нас усюди. Випуклі багатокутники бувають природними, наприклад, бджолиними стільниками або штучними (створеними людиною). Ці фігури використовуються у виробництві різних видів покриттів, живопису, архітектурі, прикрасах і т.д. Випуклі багатокутники мають ту властивість, що всі їхні точки розташовуються по одну сторону від прямої, що проходить через пару сусідніх вершин цієї геометричної фігури. Існують та інші визначення. Випуклим називається той багатокутник, який розташований в єдиній півплощині щодо будь-якої прямої, що містить одну з сторін.
У курсі елементарної геометрії завжди розглядаються винятково прості багатокутники. Щоб зрозуміти всі властивості таких, необхідно розібратися з їх природою. Спочатку слід усвідомити, що замкненою називається будь-яка лінія, кінці якої збігаються. Причому фігура, утворена нею, може мати різні конфігурації. Багатокутником називають просту замкнуту ламану лінію, у якої сусідні ланки не розташовуються на одній прямій. Її ланки та вершини є, відповідно, сторонами та вершинами цієї геометричної фігури. Проста ламана не повинна мати самоперетину.
Вершини багатокутника називають сусідніми, якщо вони є кінці однієї з його сторін. Геометрична постать, яка має n-е число вершин, отже, і n-е кількість сторін, називається n-угольником. Саму ламану лінію називають межею чи контуром цієї геометричної фігури. Багатокутною площиною або плоским багатокутником називають кінцеву частину будь-якої площини, ним обмеженою. Сусідними сторонами цієї геометричної фігури називають відрізки ламаної лінії, що виходять із однієї вершини. Вони будуть не сусідніми, якщо виходять з різних вершин багатокутника.
Інші визначення опуклих багатокутників
В елементарній геометрії існує ще кілька еквівалентних за своїм значенням визначень, що вказують на те, який багатокутник називається опуклим. Причому всі ці формулювання однаково вірні. Випуклим вважається той багатокутник, у якого:
Кожен відрізок, що з'єднує будь-які точки всередині нього, повністю лежить у ньому;
Усередині нього лежать усі його діагоналі;
Будь-який внутрішній кут вбирається у 180°.
Багатокутник завжди розбиває площину на 2 частини. Одна з них - обмежена (вона може бути поміщена в коло), а інша - необмежена. Першу називають внутрішньою областю, а другу – зовнішньою областю цієї геометричної фігури. Цей багатокутник є перетином (іншими словами - загальною складовою) декількох напівплощин. При цьому кожен відрізок, що має кінці в точках, що належать до багатокутника, повністю належить йому.
Різновиди опуклих багатокутників
Визначення опуклого багатокутника не вказує на те, що існує безліч видів. Причому кожен з них має певні критерії. Так, опуклі багатокутники, які мають внутрішній кут рівний 180°, називаються слабовыпуклыми. Випукла геометрична фігура, що має три вершини, називається трикутником, чотири - чотирикутником, п'ять - п'ятикутником тощо. Геометрична фігура даного типу, у якої всі вершини розташовуються на одному колі, називається вписаною в коло. Випуклий багатокутник називають описаним, якщо всі його сторони біля кола торкаються неї. Два багатокутники називають рівними лише у тому випадку, коли за допомогою накладання їх можна поєднати. Плоським багатокутником називають багатокутну площину (частина площини), що обмежена цією геометричною фігурою.
Правильні опуклі багатокутники
Правильними багатокутниками називають геометричні фігури з рівними кутами та сторонами. Усередині них є точка 0, яка знаходиться на однаковій відстані від кожної його вершин. Її називають центром цієї геометричної постаті. Відрізки, що з'єднують центр із вершинами цієї геометричної фігури, називають апофемами, а ті, що з'єднують точку 0 зі сторонами - радіусами.
Правильний чотирикутник – квадрат. Правильний трикутник називають рівностороннім. Для таких фігур існує таке правило: кожен кут опуклого багатокутника дорівнює 180 ° * (n-2) / n,
де n – число вершин цієї опуклої геометричної фігури.
Площу будь-якого правильного багатокутника визначають за формулою:
де p дорівнює половині суми всіх сторін даного багатокутника, а h дорівнює довжині апофеми.
Властивості опуклих багатокутників
Випуклі багатокутники мають певні властивості. Так, відрізок, який сполучає будь-які 2 точки такої геометричної фігури, обов'язково розташовується в ній. Доказ:
Припустимо, що Р - опуклий багатокутник. Беремо 2 довільні точки, наприклад, А, В, які належать Р. За існуючим визначенням опуклого багатокутника ці точки розташовані в одній стороні від прямої, що містить будь-яку сторону Р. Отже, АВ також має цю властивість і міститься в Р. Випуклий багатокутник завжди можна розбити на кілька трикутників усіма діагоналями, які проведені з однієї його вершини.
Кути опуклих геометричних фігур
Кути опуклого багатокутника – це кути, що утворені його сторонами. Внутрішні кути знаходяться у внутрішній області цієї геометричної фігури. Кут, що утворений його сторонами, що сходяться на одній вершині, називають кутом опуклого багатокутника. з внутрішніми кутами даної геометричної фігури називають зовнішніми. Кожен кут опуклого багатокутника, розташований усередині нього, дорівнює:
де х – величина зовнішнього кута. Ця проста формула діє щодо будь-яких геометричних фігур такого типу.
У випадку, для зовнішніх кутів існує такі правило: кожен кут опуклого багатокутника дорівнює різниці між 180° і величиною внутрішнього кута. Він може мати значення від -180° до 180°. Отже, коли внутрішній кут становить 120°, зовнішній матиме величину 60°.
Сума кутів опуклих багатокутників
Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника встановлюється за такою формулою:
де n – число вершин n-кутника.
Сума кутів опуклого багатокутника визначається досить просто. Розглянемо будь-яку таку геометричну фігуру. Для визначення суми кутів усередині опуклого багатокутника необхідно з'єднати одну з вершин з іншими вершинами. Внаслідок такої дії виходить (n-2) трикутника. Відомо, що сума кутів будь-яких трикутників завжди дорівнює 180 °. Оскільки їх кількість у будь-якому багатокутнику дорівнює (n-2), сума внутрішніх кутів такої фігури дорівнює 180 ° х (n-2).
Сума кутів опуклого багатокутника, а саме будь-яких двох внутрішніх і суміжних з ними зовнішніх кутів, дана опукла геометрична фігура завжди дорівнюватиме 180°. Виходячи з цього, можна визначити суму всіх її кутів:
Сума внутрішніх кутів становить 180 ° * (n-2). Виходячи з цього, суму всіх зовнішніх кутів цієї фігури встановлюють за такою формулою:
180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.
Сума зовнішніх кутів будь-якого опуклого багатокутника завжди дорівнюватиме 360° (незалежно від кількості його сторін).
Зовнішній кут опуклого багатокутника у випадку представляється різницею між 180° і величиною внутрішнього кута.
Інші властивості опуклого багатокутника
Крім основних властивостей даних геометричних фігур, вони й інші, що виникають при маніпуляціях із нею. Так, будь-який з багатокутників може бути розділений на кілька опуклих n-кутників. Для цього необхідно продовжити кожну з його сторін та розрізати цю геометричну фігуру вздовж цих прямих ліній. Розбити будь-який багатокутник на кілька опуклих частин можна і таким чином, щоб вершини кожного шматка збігалися з усіма його вершинами. З такої геометричної фігури можна просто зробити трикутники шляхом проведення всіх діагоналей з однієї вершини. Таким чином, будь-який багатокутник, зрештою, можна розбити на певну кількість трикутників, що виявляється дуже корисним при вирішенні різних завдань, пов'язаних із такими геометричними фігурами.
Периметр опуклого багатокутника
Відрізки ламаної лінії, які називаються сторонами багатокутника, найчастіше позначаються такими літерами: ab, bc, cd, de, ea. Це сторони геометричної фігури з вершинами a, b, c, d, e. Сума довжини всіх сторін цього опуклого багатокутника називають його периметром.
Коло багатокутника
Випуклі багатокутники можуть бути вписаними та описаними. Окружність, що стосується всіх сторін цієї геометричної фігури, називається вписаною в неї. Такий багатокутник називають описаним. Центр кола, яка вписана в багатокутник, являє собою точку перетину бісектрис усіх кутів усередині цієї геометричної фігури. Площа такого багатокутника дорівнює:
де r – радіус вписаного кола, а p – півпериметр даного багатокутника.
Окружність, що містить вершини багатокутника, називають описаною біля нього. При цьому ця опукла геометрична фігура називається вписаною. Центр кола, яка описана біля такого багатокутника, є точкою перетину так званих серединних перпендикулярів усіх сторін.
Діагоналі опуклих геометричних фігур
Діагоналі опуклого багатокутника – це відрізки, які з'єднують не сусідні вершини. Кожна з них лежить усередині цієї геометричної постаті. Число діагоналей такого n-кутника встановлюється за такою формулою:
N = n (n – 3)/2.
Число діагоналей опуклого багатокутника відіграє важливу роль елементарної геометрії. Число трикутників (К), на які можна розбити кожен опуклий багатокутник, обчислюється за такою формулою:
Кількість діагоналей опуклого багатокутника завжди залежить від його вершин.
Розбиття опуклого багатокутника
У деяких випадках для вирішення геометричних завдань необхідно розбити опуклий багатокутник на кілька трикутників з діагоналі, що не перетинаються. Цю проблему можна вирішити виведенням певної формули.
Визначення завдання: назвемо правильним деяке розбиття опуклого n-кутника на кілька трикутників діагоналями, що перетинаються лише у вершинах цієї геометричної фігури.
Рішення: Припустимо, що Р1, Р2, Р3 …, Pn – вершини цього n-кутника. Число Xn – кількість його розбиття. Уважно розглянемо отриману діагональ геометричної фігури Pi Pn. У кожному з правильних розбиття Р1 Pn належить певному трикутнику Р1 Pi Pn, у якого 1
Нехай і = 2 буде однією групою правильних розбиття, що завжди містить діагональ Р2 Pn. Кількість розбиття, що входять до неї, збігається з числом розбиття (n-1)-кутника Р2 Р3 Р4… Pn. Іншими словами, воно дорівнює Xn-1.
Якщо і = 3, то ця інша група розбиття завжди міститиме діагоналі Р3 Р1 і Р3 Pn. При цьому кількість правильних розбиття, що містяться в цій групі, співпадатиме з числом розбиття (n-2)-кутника Р3 Р4… Pn. Іншими словами, воно дорівнюватиме Xn-2.
Нехай і = 4, тоді серед трикутників правильне розбиття неодмінно міститиме трикутник Р1 Р4 Pn, до якого примикатиме чотирикутник Р1 Р2 Р3 Р4, (n-3)-кутник Р4 Р5… Pn. Кількість правильних розбиття такого чотирикутника дорівнює Х4, а число розбиття (n-3)-кутника дорівнює Xn-3. Виходячи з усього викладеного, можна сказати, що повна кількість правильних розбиття, що містяться в цій групі, дорівнює Xn-3 Х4. Інші групи, у яких і = 4, 5, 6, 7… матимуть Xn-4 Х5, Xn-5 Х6, Xn-6 Х7 … правильних розбиття.
Нехай і = n-2, то кількість правильних розбиття в даній групі збігатиметься з числом розбиття в групі, у якої i = 2 (іншими словами, дорівнює Xn-1).
Так як Х1 = Х2 = 0, Х3 = 1, Х4 = 2 ..., то число всіх розбиття опуклого багатокутника дорівнює:
Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 Х4 + Xn-4 Х5 + … + Х5 Xn-4 + Х4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Х5 = Х4 + Х3 + Х4 = 5
Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14
Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42
Х8 = Х7 + Х6 + Х5 * Х4 + Х4 * Х5 + Х6 + Х7 = 132
Кількість правильних розбиття, що перетинають всередині одну діагональ
При перевірці окремих випадків, можна прийти до припущення, що число діагоналей опуклих n-кутників дорівнює добутку всіх розбиття цієї фігури на (n-3).
Підтвердження цього припущення: припустимо, що P1n = Xn * (n-3), тоді кожен n-кутник можна розбити на (n-2)-трикутників. У цьому їх може бути складний (n-3)-четырехугольник. Поряд із цим, у кожного чотирикутника буде діагональ. Оскільки в цій опуклій геометричній фігурі можуть бути проведені дві діагоналі, це означає, що і в будь-яких (n-3)-чотирьохкутниках можна провести додаткові діагоналі (n-3). Виходячи з цього, можна дійти невтішного висновку, що у кожному правильному розбиття є можливість провести (n-3)-діагоналі, відповідальні умовам цього завдання.
Площа опуклих багатокутників
Нерідко при вирішенні різних завдань елементарної геометрії виникає необхідність визначити площу опуклого багатокутника. Припустимо, що (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n являє собою послідовність координат всіх сусідніх вершин багатокутника, що не має самоперетинів. У цьому випадку його площа обчислюється за такою формулою:
S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),
де (Х 1 Y 1) = (X n +1 Y n + 1).
Відеоурок 2: Багатокутники. Розв'язання задач
Лекція: Багатокутник. Сума кутів опуклого багатокутника
Багатокутники- це фігури, які оточують нас скрізь - це і форма сот, в яких бджоли зберігають свій мед, архітектурні споруди, а також багато іншого.
Як уже говорилося раніше, багатокутники - це фігури, у яких більше двох кутів. Вони складаються із замкнутої ламаної лінії.
Причому кути багатокутників можуть бути зовнішні та внутрішні. Наприклад, зірка – це фігура, яка має 10 кутів, при цьому деякі з них опуклі, інші увігнуті:
Приклади опуклих багатокутників:
Зверніть увагу, на малюнку показані правильні багатокутники – такі докладно вивчаються у шкільному курсі математики.
У будь-якого багатокутника кількість вершин збігається з кількістю сторін. Також зверніть увагу, що сусідніми вершинами називаються ті, які мають одну спільну сторону. Наприклад, у трикутника всі вершини сусідні.
Чим більше кутів у правильного багатокутника, тим більша їх градусна міра. Проте, градусна міра кута опуклого багатокутника не може бути більшою або дорівнює 180 градусів.
Щоб визначити загальний градусний захід багатокутника, необхідно скористатися формулою.
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.
Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.