Як із дробового числа перевести в десяткову. Переведення десяткового дробу у звичайний
Дуже часто у шкільній програмі математики діти стикаються з проблемою, як перевести звичайний дріб у десятковий. Для того щоб перевести звичайний дріб у десятковий, згадаємо для початку, що таке звичайний дріб і десятковий дріб. Звичайна дріб – це дріб виду m/n , де m – чисельник, а n – знаменник. Приклад: 8/13; 6/7 тощо. Дроби поділяються на правильні, неправильні та змішані числа. Правильний дріб – це коли чисельник менший за знаменник: m/n, де m 3. Неправильний дріб завжди можна подати у вигляді змішаного числа, а саме: 4/3 = 1 і 1/3;
Переведення звичайного дробу до десяткового
Тепер розглянемо, як перевести змішаний дріб у десятковий. Будь-який звичайний дріб, будь він правильним або не правильним, можна перевести в десятковий. Для цього потрібно чисельник поділити на знаменник. Приклад: простий дріб (правильний) 1/2. Ділимо чисельник 1 на знаменник 2, отримуємо 0,5. Візьмемо приклад 45/12, відразу видно, що це дріб неправильний. Тут знаменник менший за чисельник. Перетворюємо неправильний дріб на десятковий: 45: 12 = 3,75.
Переведення змішаних чисел у десятковий дріб
Приклад: 25/8. Спочатку ми перетворюємо змішане число на неправильний дріб: 25/8 = 3х8+1/8 =3 і 1/8; потім ділимо чисельник рівний 1 на знаменник рівний 8, стовпчиком або на калькуляторі і отримаємо десятковий дріб рівний 0,125. У статті наведені найлегші приклади переведення у десяткові дроби. Зрозумівши методику перекладу на простих прикладах, ви легко зможете вирішувати найскладніші з них.
У цій статті ми розберемо, як здійснюється переведення звичайних дробів у десяткові дроби, і навіть розглянемо зворотний процес – переклад десяткових дробів у прості дроби. Тут ми озвучимо правила обігу дробів та наведемо докладні рішення характерних прикладів.
Навігація на сторінці.
Переведення звичайних дробів у десяткові дроби
Позначимо послідовність, в якій ми розбиратимемося з переведенням звичайних дробів у десяткові дроби.
Спочатку ми розглянемо, як прості дроби зі знаменниками 10, 100, 1 000, … у вигляді десяткових дробів . Це тим, що десяткові дроби насправді є компактної формою запису звичайних дробів зі знаменниками 10, 100, … .
Після цього ми підемо далі і покажемо, як будь-який звичайний дріб (не тільки зі знаменниками 10, 100, …) записати у вигляді десяткового дробу. При такому обігу звичайних дробів виходять як кінцеві десяткові дроби, і нескінченні періодичні десяткові дроби.
Тепер все по порядку.
Переклад звичайних дробів із знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби
Деякі правильні звичайні дроби перед переведенням у десяткові дроби потребують «попередньої підготовки». Це стосується звичайних дробів, кількість цифр у чисельнику яких менша, ніж кількість нулів у знаменнику. Наприклад, звичайний дріб 2/100 потрібно попередньо підготувати до переведення в десятковий дріб, а дріб 9/10 підготовки не потребує.
«Попередня підготовка» правильних звичайних дробів до переведення в десяткові дроби полягає в дописуванні зліва в чисельнику такої кількості нулів, щоб там загальна кількість цифр стала дорівнює кількості нулів у знаменнику. Наприклад, дріб після дописування нулів матиме вигляд .
Після підготовки правильного звичайного дробу можна приступати до його звернення до десяткового дробу.
Дамо правило переведення правильного звичайного дробу зі знаменником 10, або 100, або 1 000, … в десятковий дріб. Воно складається із трьох кроків:
- записуємо 0;
- після нього ставимо десяткову кому;
- записуємо число з чисельника (разом із дописаними нулями, якщо ми їх дописували).
Розглянемо застосування цього правила під час вирішення прикладів.
приклад.
Переведіть правильний звичайний дріб 37/100 у десятковий.
Рішення.
У знаменнику знаходиться число 100, у запису якого два нулі. У чисельнику знаходиться число 37, у його запису дві цифри, отже, цей дріб не потребує підготовки до переведення в десятковий дріб.
Тепер записуємо 0, ставимо десяткову кому, і записуємо число 37 з чисельника, при цьому отримуємо десятковий дріб 0,37.
Відповідь:
0,37 .
Для закріплення навичок перекладу правильних звичайних дробів із чисельниками 10, 100, … у десяткові дроби розберемо рішення ще одного прикладу.
приклад.
Запишіть правильний дріб 107/10 000 000 у вигляді десяткового дробу.
Рішення.
Кількість цифр у чисельнику дорівнює 3 , а кількість нулів у знаменнику дорівнює 7 , тому цей звичайний дріб потребує підготовки до переведення в десятковий. Нам потрібно дописати 7-3=4 нуля ліворуч у чисельнику, щоб загальна кількість цифр там стала дорівнює кількості нулів у знаменнику. Отримуємо.
Залишилося скласти потрібний десятковий дріб. Для цього, по-перше, записуємо 0, по-друге, ставимо кому, по-третє, записуємо число з чисельника разом з нулями 0000107, в результаті маємо десятковий дріб 0,0000107.
Відповідь:
0,0000107 .
Неправильні звичайні дроби не потребують підготовки при переведенні в десяткові дроби. Слід дотримуватися наступного правила переведення неправильних звичайних дробів зі знаменниками 10, 100, … у десяткові дроби:
- записуємо число з чисельника;
- відокремлюємо десятковою комою стільки цифр праворуч, скільки нулів у знаменнику вихідного дробу.
Розберемо застосування цього правила під час вирішення прикладу.
приклад.
Переведіть неправильний звичайний дріб 56 888 038 009/100 000 у десятковий дріб.
Рішення.
По-перше, записуємо число з чисельника 56888038009, по-друге, відокремлюємо десятковою комою 5 цифр праворуч, оскільки у знаменнику вихідного дробу 5 нулів. У результаті маємо десятковий дріб 568 880,38009.
Відповідь:
568 880,38009 .
Для звернення до десяткового дробу змішаного числа , знаменником дробової частини якого є число 10 , або 100 , або 1 000, ... , можна виконати переведення змішаного числа в неправильний звичайний дріб, після чого отриманий дріб звернути до десяткового дробу. Але можна скористатися і наступним правилом переведення змішаних чисел зі знаменником дробової частини 10, або 100, або 1 000, … у десяткові дроби:
- при необхідності виконуємо «попередню підготовку» дробової частини вихідного змішаного числа, дописавши необхідну кількість нулів ліворуч у чисельнику;
- записуємо цілу частину вихідного змішаного числа;
- ставимо десяткову кому;
- записуємо число з чисельника разом із дописаними нулями.
Розглянемо приклад, при вирішенні якого виконаємо всі необхідні кроки для представлення змішаного числа у вигляді десяткового дробу.
приклад.
Переведіть змішане число до десяткового дробу.
Рішення.
У знаменнику дробової частини 4 нуля, в чисельнику ж знаходиться число 17 , що складається з 2 цифр, тому нам потрібно дописати два нулі зліва в чисельнику, щоб там число знаків дорівнювало числу нулів у знаменнику. Виконавши це, у чисельнику виявиться 0017 .
Тепер записуємо цілу частину вихідного числа, тобто число 23 , ставимо десяткову кому, після якої записуємо число з чисельника разом з дописаними нулями, тобто 0017 при цьому отримуємо шуканий десятковий дріб 23,0017 .
Запишемо все рішення коротко: .
Безперечно, можна було спочатку уявити змішане число у вигляді неправильного дробу, після чого перевести його в десятковий дріб. За такого підходу рішення виглядає так: .
Відповідь:
23,0017 .
Переведення звичайних дробів у кінцеві та нескінченні періодичні десяткові дроби
У десятковий дріб можна перекласти як прості дроби зі знаменниками 10, 100, … , але прості дроби коїться з іншими знаменниками. Тепер ми розберемося, як це робиться.
У деяких випадках вихідний звичайний дріб легко наводиться до одного із знаменників 10 , або 100 , або 1 000, … (дивіться приведення звичайного дробу до нового знаменника), після чого не важко отримати отриманий дріб уявити у вигляді десяткового дробу. Наприклад, очевидно, що дріб 2/5 можна привести до дробу зі знаменником 10 , для цього потрібно чисельник і знаменник помножити на 2 , що дасть дріб 4/10 , який за правилами, розібраними в попередньому пункті, легко переводиться в десятковий дріб 0, 4 .
В інших випадках доводиться використовувати інший спосіб переведення звичайного дробу в десятковий, до розгляду якого ми переходимо.
Для обігу звичайного дробу в десятковий дріб виконується розподіл чисельника дробу на знаменник, чисельник попередньо замінюється рівним йому десятковим дробом з будь-якою кількістю нулів після десяткової коми (про це ми говорили в розділі рівні та нерівні десяткові дроби). У цьому розподіл виконується як і, як розподіл стовпчиком натуральних чисел , а приватному ставиться десяткова кома, коли закінчується розподіл цілої частини поділеного. Все це стане зрозуміло з рішень прикладів, наведених нижче.
приклад.
Переведіть звичайний дріб 621/4 до десяткового дробу.
Рішення.
Число в чисельнику 621 представимо у вигляді десяткового дробу, додавши десяткову кому і кілька нулів після неї. Для початку допишемо 2 цифри 0, пізніше, за потреби, ми завжди можемо додати ще нулів. Отже, маємо 621,00.
Тепер виконаємо розподіл стовпчиком числа 621,000 на 4 . Перші три кроки нічим не відрізняються від розподілу стовпчиком натуральних чисел, після них приходимо до наступної картини:
Так ми дісталися десяткової коми в ділимому, а залишок при цьому відмінний від нуля. У цьому випадку в приватному ставимо десяткову кому, і продовжуємо поділ стовпчиком, не звертаючи уваги на коми:
На цьому розподіл закінчено, а в результаті ми отримали десятковий дріб 155,25, який відповідає вихідному звичайному дробу.
Відповідь:
155,25 .
Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще одного прикладу.
приклад.
Переведіть звичайний дріб 21/800 у десятковий дріб.
Рішення.
Для перекладу цієї звичайної дробу в десятковий, виконаємо поділ стовпчиком десяткового дробу 21,000 ... на 800 . Нам після першого ж кроку доведеться поставити десяткову кому в приватному, після чого продовжити поділ:
Нарешті ми отримали залишок 0 , у цьому переведення звичайного дробу 21/400 в десятковий дріб закінчено, і ми дійшли десяткового дробу 0,02625 .
Відповідь:
0,02625 .
Може статися, що при розподілі чисельника на знаменник звичайного дробу ми не отримаємо в залишку 0 . У цих випадках розподіл можна продовжувати як завгодно довго. Проте, починаючи з певного кроку, залишки начитають періодично повторюватися, у своїй повторюються і цифри у приватному. Це означає, що вихідний звичайний дріб переводиться в нескінченний періодичний десятковий дріб . Покажемо на прикладі.
приклад.
Запишіть звичайний дріб 19/44 у вигляді десяткового дробу.
Рішення.
Для переведення звичайного дробу в десяткову виконаємо поділ стовпчиком:
Вже зараз видно, що при розподілі почали повторюватися залишки 8 і 36, при цьому в приватному повторюються цифри 1 і 8. Таким чином, вихідний звичайний дріб 19/44 переводиться в періодичний десятковий дріб 0,43181818 ... = 0,43 (18) .
Відповідь:
0,43(18) .
На закінчення цього пункту розберемося, які прості дроби можна перевести в кінцеві десяткові дроби, а які тільки в періодичні.
Нехай перед нами знаходиться нескоротний звичайний дріб (якщо дріб скоротний, то попередньо виконуємо скорочення дробу), і нам потрібно з'ясувати, в який десятковий дріб його можна перевести - в кінцевий або періодичний.
Зрозуміло, що якщо звичайний дріб можна привести до одного із знаменників 10, 100, 1 000, … , то отриманий дріб легко перевести в кінцевий десятковий дріб за правилами, розібраними в попередньому пункті. Але до знаменників 10, 100, 1000 і т.д. наводяться далеко не всі прості дроби. До таких знаменників можна привести лише дроби, знаменники яких є хоча б одного з чисел 10, 100, А які числа можуть бути дільниками 10, 100, ...? Відповісти це питання нам дозволять чисел 10, 100, … , які такі: 10=2·5 , 100=2·2·5·5 , 1 000=2·2·2·5·5·5, … . Звідси випливає, що дільниками 10, 100, 1000 і т.д. можуть бути лише числа, розкладання яких на прості множники містять лише числа 2 та (або) 5 .
Тепер ми можемо зробити загальний висновок про переведення звичайних дробів у десяткові дроби:
- якщо розкладанні знаменника на прості множники присутні лише числа 2 і (або) 5 , то цей дріб можна перевести в кінцевий десятковий дріб;
- якщо крім двох і п'ятірок у розкладанні знаменника присутні інші прості числа, то цей дріб переводиться до нескінченного десяткового періодичного дробу.
приклад.
Не виконуючи переведення звичайних дробів у десяткові, скажіть, які з дробів 47/20 , 7/12 , 21/56 , 31/17 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а які - лише періодичний.
Рішення.
Розкладання на прості множники знаменника дробу 47/20 має вигляд 20 = 2 · 2 · 5 . У цьому розкладанні присутні лише двійки і п'ятірки, тому цей дріб може бути приведений до одного з знаменників 10, 100, 1000, … (у цьому прикладі до знаменника 100), отже, може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.
Розкладання на прості множники знаменника дробу 7/12 має вигляд 12 = 2 · 2 · 3 . Так як воно містить простий множник 3, відмінний від 2 і 5, то цей дріб не може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу, але може бути переведена в періодичний десятковий дріб.
Дроби 21/56 – скоротлива, після скорочення вона набуває вигляду 3/8 . Розкладання знаменника на прості множники містить три множники, рівних 2, отже, звичайний дріб 3/8, а значить і дорівнює їй дріб 21/56, може бути переведена в кінцевий десятковий дріб.
Нарешті, розкладання знаменника дробу 31/17 являє собою 17 , отже, цей дріб не можна звернути в кінцевий десятковий дріб, але можна звернути в нескінченну періодичну.
Відповідь:
47/20 і 21/56 можна перевести в кінцевий десятковий дріб, а 7/12 і 31/17 - тільки в періодичний.
Звичайні дроби не перетворюються на нескінченні неперіодичні десяткові дроби
Інформація попереднього пункту породжує питання: «Чи може при розподілі чисельника дробу на знаменник вийти нескінченний неперіодичний дріб»?
Відповідь: ні. При перекладі звичайного дробу може вийти або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб. Пояснимо, чому це так.
З теореми про ділимості із залишком ясно, що залишок завжди менший за дільник, тобто, якщо ми виконуємо розподіл деякого цілого числа на ціле число q , то залишком може бути лише одне з чисел 0, 1, 2, …, q−1 . Звідси випливає, що після завершення розподілу стовпчиком цілої частини чисельника звичайного дробу на знаменник q , не більше ніж через крок q виникне одна з двох наступних ситуацій:
- або ми отримаємо залишок 0 , у цьому розподіл закінчиться, ми отримаємо кінцевий десятковий дріб;
- або ми отримаємо залишок, який вже з'являвся раніше, після цього залишки почнуть повторюватися як у попередньому прикладі (оскільки при розподілі рівних чисел на q виходять рівні залишки, що випливає з вже згаданої теореми про подільність), так буде отримано нескінченний періодичний десятковий дріб.
Інших варіантів бути не може, отже, при зверненні звичайного дробу в десятковий дріб не може вийти нескінченна неперіодична десяткова дріб.
З наведених у цьому пункті міркувань також випливає, що довжина періоду десяткового дробу завжди менша, ніж значення знаменника відповідного звичайного дробу.
Переведення десяткових дробів у звичайні дроби
Тепер розберемося, як перевести десятковий дріб у звичайний. Почнемо з переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби. Після цього розглянемо метод обігу нескінченних періодичних десяткових дробів. На закінчення скажемо про неможливість переведення нескінченних неперіодичних десяткових дробів у звичайні дроби.
Переведення кінцевих десяткових дробів у звичайні дроби
Отримати звичайний дріб, який записаний у вигляді кінцевого десяткового дробу, досить просто. Правило переведення кінцевого десяткового дробу у звичайний дрібскладається з трьох кроків:
- по-перше, записати цей десятковий дріб у чисельник, попередньо відкинувши десятковий ком і всі нулі зліва, якщо вони є;
- по-друге, у знаменник записати одиницю і до неї дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться після коми у вихідному десятковому дробі;
- по-третє, при необхідності виконати скорочення отриманого дробу.
Розглянемо рішення прикладів.
приклад.
Зверніть десятковий дріб 3,025 у звичайний дріб.
Рішення.
Якщо у вихідному десятковому дробі прибрати десяткову кому, ми отримаємо число 3 025 . У ньому немає нулів зліва, які б ми відкинули. Отже, у чисельник шуканого дробу записуємо 3025 .
У знаменник записуємо цифру 1 і праворуч до неї дописуємо 3 нуля, тому що у вихідному десятковому дробі після коми знаходяться 3 цифри.
Так ми отримали звичайний дріб 3025/1000. Цей дріб можна скоротити на 25 .
Відповідь:
.
приклад.
Виконайте переведення десяткового дробу 0,0017 у звичайний дріб.
Рішення.
Без десяткової коми вихідний десятковий дріб має вигляд 00017, відкинувши нулі зліва отримуємо число 17, яке і є чисельником шуканого звичайного дробу.
У знаменник записуємо одиницю з чотирма нулями, тому що у вихідному десятковому дробі після коми 4 цифри.
Через війну маємо звичайну дріб 17/10 000 . Цей дріб нескоримий, і переведення десяткового дробу в звичайний закінчено.
Відповідь:
.
Коли ціла частина вихідного кінцевого десяткового дробу відмінна від нуля, її можна відразу перевести в змішане число, минаючи звичайний дріб. Дамо правило переведення кінцевого десяткового дробу в змішане число:
- число до десяткової коми треба записати як цілу частину шуканого змішаного числа;
- у чисельник дробової частини потрібно записати число, отримане з дробової частини вихідного десяткового дробу після відкидання у ній всіх нулів зліва;
- у знаменнику дробової частини потрібно записати цифру 1, до якої праворуч дописати стільки нулів, скільки цифр знаходиться в записі вихідного десяткового дробу після коми;
- при необхідності виконати скорочення дробової частини отриманого змішаного числа.
Розглянемо приклад переведення десяткового дробу в змішане число.
приклад.
Подайте десятковий дріб 152,06005 у вигляді змішаного числа
Перекладаємо звичайний дріб у десятковий — правила та приклади.
Одним із основних елементів математики є числа. Вони позначаються десятьма арабськими цифрами та діляться на цілі числа та дробові. Дробом є одна або кілька частин цілого числа "1".
Дроби бувають двох видів: звичайні (або прості) та десяткові. Звичайні дроби найчастіше застосовуються у точних розрахунках, а десятковими користуються у повсякденному житті.
Як приклад спробуємо розібратися з видами дробів і перевести звичайний дріб у десятковий.
Види дробів
- Звичайні дроби мають вигляд а/b, де а – число обраних частин (числитель), а b – загальна кількість частин (знаменник).
- Десяткові дроби мають вигляд a, bc, де a – ціле число, а bc – десяткова частина.
Переклад дробів
Для перекладу звичайного дробу в десятковий вам знадобиться калькулятор або аркуш паперу та ручка.
- Замініть знак "/" знаком розподілу. Приклад: ¼ = 1:4
- Обчисліть отриманий приклад, записавши результат після коми: 1:4 = 0,25
Якщо чисельник більший за знаменник, то спочатку необхідно знайти цілу частину.
- Розділіть чисельник на знаменник і запишіть ціле число і дріб, що залишився. Приклад: 25/4=25:4=6 ¼
- Обчисліть дробову частину, як в прикладі вище: ¼=1:4=0,25.
- Запишіть цілу частину до коми, дробову – після: 25/4=6,25
Якщо дріб складається з цілого числа і дробової частини, то ціла частина залишається без зміни: 6 = 6,25
Будь-який десятковий дріб можна представити у вигляді звичайного дробу. Для цього треба просто записати її із знаменником.
Головне правило в перекладі десяткового дробу у звичайний - як читається десятковий дріб, так і пишеться звичайний. Наприклад:
2,3 - дві цілих три десятих
Так як дріб має цілу частину, то перевести її ми можемо або в змішане число або в неправильний дріб:
Переведення звичайного дробу до десяткового
Не будь-який звичайний дріб можна перевести в десятковий, тому що щоб записати звичайний дріб у вигляді десяткового, треба привести його до знаменника, що представляє собою одиницю з одним або декількома нулями, наприклад: 10, 100, 1000 і т. д. Якщо розкласти такий знаменник на прості множники , то вийде однакова кількість двійок та п'ятірок:
100 = 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5
1000 = 10 · 10 · 10 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5
Ніяких інших простих множників ці розкладання не містять, отже:
Звичайний дріб можна представити у вигляді десяткового тільки в тому випадку, якщо його знаменник не містить жодних інших множників, крім 2 та 5.
Візьмемо дріб:
Якщо домножити його на дві п'ятірки, щоб зрівняти кількість п'ятірок з двійками, то вийде один з потрібних знаменників - 100. Щоб отримати дріб рівний даній, то чисельник теж треба буде помножити на твір двох п'ятірок:
Розглянемо ще один дріб:
Множитель 7 буде присутній у знаменнику, на які цілі числа його не множили, тому твір, що містить тільки двійки і п'ятірки ніколи не вийде. Значить цей дріб не можна привести до жодного з потрібних знаменників: 10, 100, 1000 і так далі. Тобто її не можна уявити у вигляді десяткової.
Звичайний нескоротний дріб не можна у вигляді десяткового, якщо його знаменник містить хоча б один простий множник, відмінний від 2 і 5.
Зверніть увагу, що в правилі написано тільки про нескоротні дроби, тому що деякі дроби після скорочення можна уявити у вигляді десяткових. Розглянемо два дроби:
Тепер залишилося тільки помножити обидва члени дробу на 5, щоб отримати 10 у знаменнику, і можна буде переводити дріб у десятковий.
Якщо потрібно розділити 497 на 4, то при розподілі ми побачимо, що 497 не ділиться на 4 націло, тобто. залишається залишок від розподілу. У таких випадках кажуть, що виконано розподіл із залишком, і рішення записують у такому вигляді:
497: 4 = 124 (1 залишок).
Компоненти розподілу в лівій частині рівності називають так само, як при розподілі без залишку: 497 - ділене, 4 - дільник. Результат розподілу при розподілі із залишком називають неповним приватним. У нашому випадку це число 124. І, нарешті, останній компонент, якого немає у звичайному розподілі, - залишок. У тих випадках, коли залишку немає, кажуть, що одне число поділилося на інше без залишку, або націло. Вважають, що за такого розподілу залишок дорівнює нулю. У разі залишок дорівнює 1.
Залишок завжди менший за дільник.
Перевірку під час поділу можна зробити множенням. Якщо, наприклад, є рівність 64: 32 = 2, перевірку можна зробити так: 64 = 32 * 2.
Часто у випадках, коли виконується розподіл із залишком, зручно використовувати рівність
а = b * n + r
де а – ділене, b – дільник, n – неповне приватне, r – залишок.
Частка від розподілу натуральних чисел можна записати у вигляді дробу.
Чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник.
Оскільки чисельник дробу - це подільне, а знаменник - дільник, вважають, що риса дробу означає дію розподілу. Іноді буває зручно записувати поділ як дробу, не використовуючи знак «:».
Приватне від розподілу натуральних чисел m і n можна записати у вигляді дробу \(\frac(m)(n) \), де чисельник m - ділене, а знаменник п - дільник:
\(m:n = \frac(m)(n) \)
Вірні такі правила:
Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба одиницю розділити на n рівних частин (часток) і взяти m таких частин.
Щоб отримати дріб \(\frac(m)(n) \), треба число m розділити на число n.
Щоб знайти частину від цілого, треба число, яке відповідає цілому, розділити на знаменник і результат помножити на чисельник дробу, який виражає цю частину.
Щоб знайти ціле за його частиною, треба число, що відповідає цій частині, розділити на чисельник і результат помножити на знаменник дробу, який виражає цю частину.
Якщо і чисельник, і знаменник дробу помножити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Якщо і чисельник, і знаменник дробу поділити на те саме число (крім нуля), величина дробу не зміниться:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Цю властивість називають основною властивістю дробу.
Два останні перетворення називають скороченням дробу.
Якщо дроби потрібно подати у вигляді дробів з одним і тим самим знаменником, то таку дію називають приведенням дробів до спільного знаменника.
Правильні та неправильні дроби. Змішані числа
Ви вже знаєте, що дріб можна отримати, якщо розділити ціле на рівні частини та взяти кілька таких частин. Наприклад, дріб \(\frac(3)(4) \) означає три четверті частки одиниці. Багато завдань попереднього параграфа звичайні дроби використовувалися для позначення частини цілого. Здоровий глузд підказує, що частина завжди повинна бути меншою за ціле, але як тоді бути з такими дробами, як, наприклад, \(\frac(5)(5) \) або \(\frac(8)(5) \)? Зрозуміло, що це не частина одиниці. Напевно, тому такі дроби, у яких чисельник більший за знаменник або дорівнює йому, називають неправильними дробами. Інші дроби, тобто дроби, у яких чисельник менший за знаменник, називають правильними дробами.
Як ви знаєте, будь-який звичайний дріб, і правильний, і неправильний, можна розглядати як результат розподілу чисельника на знаменник. Тому в математиці, на відміну від звичайної мови, термін «неправильний дріб» означає не те, що ми щось зробили неправильно, а тільки те, що у цього дробу чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.
Якщо число складається з цілої частини та дробу, то такі дроби називаються змішаними.
Наприклад:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 - ціла частина, а \(\frac(2)(3) \) - дробова частина.
Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) ділиться на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його чисельник розділити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Якщо чисельник дробу \(\frac(a)(b) \) не ділиться на натуральне число n, то щоб розділити цей дріб на n, треба його знаменник помножити на це число:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Зауважимо, що друге правило справедливе у тому разі, коли чисельник ділиться на n. Тому ми можемо його застосовувати тоді, коли важко з першого погляду визначити, чи ділиться чисельник дробу на n чи ні.
Події з дробами. Додавання дробів.
З дробовими числами, як і з натуральними числами, можна виконувати арифметичні дії. Розглянемо спочатку додавання дробів. Легко скласти дроби з однаковими знаменниками. Знайдемо, наприклад, суму \(\frac(2)(7) \) та \(\frac(3)(7) \). Легко зрозуміти, що \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, потрібно скласти їх числа, а знаменник залишити колишнім.
Використовуючи букви, правило додавання дробів з однаковими знаменниками можна записати так:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Якщо потрібно скласти дроби з різними знаменниками, їх попередньо слід привести до спільного знаменника. Наприклад:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальне та сполучне властивості додавання.
Додавання змішаних дробів
Такі записи, як \(2\frac(2)(3) \), називають змішаними дробами. При цьому число 2 називають цілою частиноюзмішаного дробу, а число \(\frac(2)(3) \) - її дробовою частиною. Запис \(2\frac(2)(3)\) читають так: «дві та дві третини».
При розподілі числа 8 на число 3 можна отримати дві відповіді: \(\frac(8)(3) \) і \(2\frac(2)(3) \). Вони виражають те саме дробове число, тобто \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)
Таким чином, неправильний дріб \(\frac(8)(3) \) представлений у вигляді змішаного дробу \(2\frac(2)(3) \). У таких випадках кажуть, що з неправильного дробу виділили цілу частину.
Віднімання дробів (дрібних чисел)
Віднімання дробових чисел, як і натуральних, визначається на основі дії додавання: відняти з одного числа інше - це знайти таке число, яке при додаванні з другим дає перше. Наприклад:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) оскільки \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) ) = \frac(8)(9) \)
Правило віднімання дробів з однаковими знаменниками схоже на правило додавання таких дробів:
щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба з чисельника першого дробу відняти чисельник другого, а знаменник залишити колишнім.
За допомогою літер це правило записується так:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Розмноження дробів
Щоб помножити дріб на дріб, потрібно перемножити їх чисельники та знаменники та перший твір записати чисельником, а другий – знаменником.
За допомогою букв правило множення дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Користуючись сформульованим правилом, можна множити дріб на натуральне число, на змішаний дріб, а також перемножувати змішані дроби. Для цього потрібно натуральне число записати у вигляді дробу зі знаменником 1, змішаний дріб - у вигляді неправильного дробу.
Результат множення треба спрощувати (якщо це можливо), скорочуючи дріб та виділяючи цілу частину неправильного дробу.
Для дробів, як і для натуральних чисел, справедливі переміщувальне та поєднане властивості множення, а також розподільна властивість множення щодо додавання.
Розподіл дробів
Візьмемо дріб \(\frac(2)(3) \) і «перевернемо» її, помінявши місцями чисельник і знаменник. Отримаємо дріб \(\frac(3)(2) \). Цей дріб називають зворотнійдробу \(\frac(2)(3) \).
Якщо ми тепер «перевернемо» дріб \(\frac(3)(2) \), то отримаємо вихідний дріб \(\frac(2)(3) \). Тому такі дроби, як \(\frac(2)(3) \) і \(\frac(3)(2) \) називають взаємно зворотними.
Взаємно зворотними є, наприклад, дроби \(\frac(6)(5) \) і \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) і \(\frac (18) (7) \).
За допомогою літер взаємно зворотні дроби можна записати так: \(\frac(a)(b) \) і \(\frac(b)(a) \)
Зрозуміло, що добуток взаємно зворотних дробів дорівнює 1. Наприклад: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Використовуючи взаємно зворотні дроби, можна поділ дробів звести до множення.
Правило розподілу дробу на дріб:
щоб розділити один дріб на інший, потрібно ділене помножити на дріб, зворотний дільник.
Використовуючи літери, правило розподілу дробів можна записати так:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Якщо ділене або дільник є натуральним числом або змішаним дробом, то для того, щоб скористатися правилом поділу дробів, його треба попередньо представити у вигляді неправильного дробу.