Рівняння косинус х дорівнює а уроки. Урок алгебри на тему "Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь
Продовження попередньої теми, в якій розглядалися приклади розв'язання тригонометричних функцій, цей відеоурок знайомить учнів з арккосинусом і рішенням рівняння cos t = a.
Розглядається приклад розв'язування рівняння cos t =1/4. Використовуючи числове коло, знаходимо точки з координатою х = 1/4, на графіку відзначимо ці точки як M(t1) і N(t2).
На графіку видно, що t 1 – це довжина АМ, а t 2 – це довжина AN. Інакше можна сказати, що t1 = arccos 1/4; t 2 = - arccos 1/4. Розв'язання рівняння t = ± arccos ¼ + 2πk.
Таким чином, arccos 1/4 це число (довжина АМ), косинус якого дорівнює 1/4. Це належить відрізку від 0 до π/2, тобто. першої чверті кола.
Далі розглядається рішення рівняння cos t = – 1/4. За аналогією з попереднім прикладом, t = ± arccos (-1/4 + 2πk. Можна сказати, що arccos (-1/4 - це число (довжина дуги АМ), косинус якого дорівнює - ¼ і це число належить II чверті кола, т.е. е. відрізку від π/2 до π.
Виходячи з двох прикладів, дається визначення арккосинусу: якщо модуль а менший або дорівнює 1, то arccos а це таке число з відрізка від 0 до π, косинус якого дорівнює а. Тоді вираз cos t = a при модулі а менший або дорівнює 1 може мати вигляд t = ± arccos a + 2πk. Далі вказано значення t при cos t = 0; cos t = 1; cos t = – 1.
Автор наводить приклад 1. Знайти рішення виразу arcсos. Вкажемо, що це значення arcсos дорівнює tотже cos t дорівнює цьому значенню, де t належить відрізку від 0 до π. Користуючись таблицею значень, знайдемо, що cos відповідає значення t = π/6. Знайдемо відповідне значення косинуса, де π/6 належить відрізку від 0 до π.
Розберемо приклад 2. Обчислити arcсos негативного числа. Припустимо, що arcсos цього числа дорівнює, отже cos t дорівнює цьому числу, де t належить відрізку від 0 до π. По таблиці значень побачимо, яке значення відповідає cos t це t = 5π/6. Тобто. cos 5π/6 це мінус корінь із трьох, поділений на два, де 5π/6 належить відрізку від 0 до π.
Далі автор розглядає теорему: для будь-якого а, що належить відрізку від мінус одного до одного, дійсно рівність arccos a + arccos (-a) = π.< 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π- arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.
Коли а > 0, arccos a належить I чверті кола (позначено малюнку), а коли а< 0, arccos a принадлежит II четверти.
Розглянемо ще один приклад. Вирішити вираз, де cos t дорівнює негативному числу. Запишемо, чому в даному випадку t.Тоді знайдемо величину арккосинусу, це 3π/4. Підставимо знайдене значення arcсos значення t і отримаємо, що t = ± 3π/4+ 2πk.
Розберемо розв'язання нерівності cos t. Для вирішення нам необхідно на числовому колі знайти точки, в яких х дорівнює значенню косинуса. Це точки зі значеннями π/4 та - π/4. Як бачимо на малюнку, довжина дуги MN це - π/4≤ t ≤π/4. Отже, відповіддю нерівності буде - π/4 + 2πk≤ t ≤ π/4+ 2πk.
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:
Арккосінус. Рішення рівняння cost = a
Розглянемо рішення рівняння cost = .
Враховуючи, що cos t - це абсцис точки М(t) (ем від те) числового кола, знайдемо на числовому колі точки з абсцисою
На числовому колі відзначимо точки М (t 1), N (t 2) - точки перетину прямий х = з цим колом.
t 1 – це довжина дуги АМ, t 2 – це довжина дуги АN, t 2 = – t 1.
Коли математики вперше зустрілися з подібною ситуацією, вони запровадили новий символ arccos
arccos (арккосинус однієї четвертої).
Тоді t1 = arccos; t 2 = - arccos
І тоді коріння рівняння cost = можна записати двома формулами:
t = arccos + 2πk, t = - arccos + 2πk або t = arccos + 2πk.
Що означає arccos?
Це число
(Довжина дуги АМ), косинус якого дорівнює одній четвертій і це число належить першій чверті, тобто відрізку .
Тепер розглянемо рівняння
cost = -. Аналогічно рішенню попереднього рівняння, запишемо
t = arccos) + 2πk.
Як розуміти arccos(-)? Це число
(Довжина дуги АМ), косинус якого дорівнює мінус однієї четвертої і це число належить другій чверті, тобто відрізку [; ].
Дамо визначення арккосинусу:
ВИЗНАЧЕННЯ. Нехай | а | 1 (модуль а менше або дорівнює одиниці). Арккосинусом а називається таке число з відрізка, косинус якого дорівнює а. (рис.1)
ПРИКЛАД 1. Обчислити arccos. (Арккосинус корінь з трьох на два)
Рішення. Нехай arccos = t. Тоді cost = і t [; ](те належить відрізку від нуля до пі). Згадаймо значенню cos відповідає
(Показати таблицю значень) Отже, t = (пі на шість), оскільки cos = і . Отже, arccos = .
arcos - це довжина дуги, але довжина дуги кола це - t у визначенні cost
(Умовно можна сказати що арккосинус це «значення кута», на який пішла точка від М від точки А, якщо згадаєте то ми число t вводили як частину довжини кола, радіуса рівного 1(одному), і тоді 2π- все коло дорівнює 360 ° , π- половина кола = 180 °, = = 60 °)
ПРИКЛАД 2. Обчислити arccos(- (арккосинус мінус корінь із трьох на два).
Рішення. Нехай arccos(-) = t. Тоді cost = і t [; ](те належить відрізку від нуля до пі). Отже, t = (п'ять пі на шість), оскільки cos = - і [; ]. Отже, arccos) = .
Доведемо ТЕОРЕМУ. Для будь-якого а [; ](а з відрізка від мінус одиниці до одиниці) виконується рівність arccosа+ arccos(-а) = π(сума арккосинусу а і арккосинусу мінус а дорівнює пі).
Доведення. Для визначеності вважатимемо, що а 0, тоді - а 0. На числовому колі відзначимо arcos а (це довжина дуги АК) і
arccos(-а) (це довжина дуги АТ) (див. рис. 2)
З доведеної теореми випливає: arcos (-а) = π - arcos а (арккосинус мінус а дорівнює різниці пі і арккосинусу а), де 0 а 1 (де а більше або дорівнює нулю і менше або дорівнює одиниці).
Коли а > 0 вважають, що arcos аналежить першій чверті числового кола.
Коли а< 0 считают, что arcosаналежить другій чверті числового кола.
ПРИКЛАД 3. Розв'язати рівняння cost = - .
Рішення. Складемо формулу розв'язків: t = arccos(-)+ 2πk.
Обчислимо значення арккосинусу: arccos(-) = π - arсcos = π - = .
(Згідно зі співвідношенням arccos(-) = π - arсcos arсcos , то підставивши це значення у формулу, отримаємо, що arccos(-) =) .
Підставимо знайдене значення формулу рішень t = arccos(-)+ 2πk і отримаємо значення t: t = + 2πk.
ПРИКЛАД 4.Вирішити нерівність cost.
Рішення. Ми знаємо, що cost - це абсцис точки М(t) на числовому колі. Це означає, що потрібно знайти такі точки М(t) на числовому колі, які задовольняють нерівність х.
Пряма х = перетинає числове коло у двох точках М та N.
Нерівності х відповідають точки відкритої дуги МN. Точці М відповідає, а точці N -
- (мінус пі на чотири).
Отже, ядром аналітичного запису дуги МN є нерівність
T , а сам аналітичний запис дуги МN має вигляд
Урок до розділу: «Тригонометричні рівняння», 10 клас
Тема уроку: «Рівняння cos х = а».
Тип заняття: формування нових знань, умінь та навичок
Цілі уроку:
-освітня
розглянути рішення найпростіших тригонометричних рівнянь типу cosx=a.
-виховна
виховувати навички культури праці;
-розвиваючі
розвивати почуття відповідальності та навички самостійної праці та самоконтролю;
розвивати логічне мислення;
виробляти вміння класифікувати та узагальнювати;
розвивати вміння ставити запитання.
Обладнання:інтерактивна дошка з мультимедійним проектором та комп'ютером, таблиці з формулами, презентація.
Завдання уроку:
1). Учні повторюють основні поняття теми.
2). Учні розв'язують рівняння типу cos х = а.
Методичні прийоми: прийом кластера («грона»), прийом «Чи вірите ви?» (На стадії виклику), «просунута лекція» (стадія осмислення), коментоване рішення рівнянь, самостійна робота учнів (стадія рефлексії).
Урок було дано з використанням елементів технології критичного мислення.
Хід уроку:
Виклик
I. Урок починається з питання до класу:«На дошці записано тему нашого уроку. На які питання ви хотіли б отримати сьогодні відповіді?
Під час обговорення на дошці з'являється схема (кластер):
cos х = а.
П. Робота з таблицею «Чи вірите Ви, що...?»,(«Чи правильно, що …?»):
1). Рівняння cos х = амає нескінченно багато коренів;
2). cos х –абсцису точки одиничного кола;
3). На відрізку [о;π] рівняння cos х = ½має 1 корінь;
4). arccos a- кут із проміжку [-π /2; π/2], косинус якого дорівнює а(|а|≤1);
5). arccos(-а) = π - arccos а;
6). Рівняння cos х = 1; cos х = -1; cos х = 0має одну серію коренів?
У питання спеціально включені неправильні формулювання.
Учні працюють у парах, заповнюючи графу (1) таблиці («+» - так; «-» - ні). Потім без обговорення на дошці заповнюється та сама графа (1) таблиці «Чи вірите Ви, що...?». Картки із таблицею лежать на кожній парті.
Осмислення
ІІІ. "Просунута лекція".
Завдання: учні, що сидять на І варіанті, стежать за кластером (схемою), учні, що сидять на ІІ варіанті, пишуть короткий конспект лекції.
a) cos х- абсцису точки одиничного кола, отриманого поворотом точки Р 0 (1; 0) на кут хдовкола початку координат.
Т. е., при аменшим, ніж -1 табільшому, ніж 1 , рівняння cos x= ане має коріння . Розв'яжемо рівняння cos х = 3/2. (Відповідь: коріння немає).
б). Розв'яжемо рівняння cos x = 1/2.
π /3 + 2 π k, k є Z.
-π /3 + 2 π k, k є Z.
Відповідь : ± π/3 + 2 πk, k є Z.
Рівняння cos х = 1/2має нескінченно багато коренів, але на відрізку це рівняння має 1 корінь π /3, який називають arccos 1/2 .
Записують: arccos 1/2= π /3.
в) аналогічно розв'яжемо рівняння:
cos x = a, де |а|≤1:
arccos a
- arccos a
Відповідь : x = ± arccos a + 2π k, kє Z.
Нагадаємо, що arccos (-a) =π - arccos a.
arccos (-а) arccos (-а)
г). окремі випадки:
1). cos x =1 x= 2πk, k є Z. | 2). cos x =-1 x= π + 2πk, k є Z. | 3). cos x = 0 x= π/2 + πk, k є Z. |
IV.Робота в парах із кластером та таблицею «Чи правда, що...?». Чотири пари працюють із кластером, інші з таблицею (заповнюється графа 2).
На роботу дається 2 хвилини, ще 5 хвилин – на перевірку, обговорення та оформлення на дошці. При перевірці таблиці (вона викреслена на дошці) порівнюються отримані знання з вихідними та виділяються яскравим кольором правильні відповіді.
Рефлексія
V. Тепер, коли отримано формули коренів тригонометричного рівняння cos х = а, учні коментують і вирішують на дошці рівняння:
2). 3cos х/3 = 2
Самостійна робота учнів:
1). 2cos 3x = -1,
2). 2cos (x + π / 3) = -1,
3). (2cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,
4). сos 2x(2cos x + 2) = 0.
Результат виконання самостійної роботи перевіряється.
Що я впізнав нового;
Як змінилися мої знання;
Що я робитиму з цим?
VI. Контрольний зріз уроку.
Iв.: cos 2x=√2/2 IIв.: cos (x/2) = √3/2.
VII. Домашнє завдання
§ 33,№№ 571-573.
ЛІТЕРАТУРА
1). Алгебра та початку аналізу 10 - 11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий рівень) Ш.А. Алімов, Ю.М. Колягін, М.В. Ткачова, Н.Є. Федорова, М.І. Шабунін. - М.: Просвітництво, 2013.
2). Дидактичні матеріали з алгебри та початків аналізу для 10 класу. М.І.Шабунін, М.В. Ткачова, 2012.
3). Самостійні та контрольні роботи з алгебри та початків аналізу для 10 класу. А.П. Єршова, В.В. Голобородько - М.: ІЛЕКСА, 2011.
4). Завдання з алгебри та початків аналізу для 10-11 класів. С.М.Саакян, А.М.Гольдман, Д.В. Денисов. - М.: Просвітництво, 2011.
Інтернет – ресурси:
- Навчальні:
- Розвиваючі:
- Знати більше вчителя та відстоювати свої гіпотези.
- Організаційний момент(2 хв)
- Висловлювати свою думку і бути почутим;
- Самостійно планувати домашню самопідготовку;
- Знати більше вчителя та відстоювати свої гіпотези(запис на дошці)
- cos t = 1,5,
- cos t = 1,
- cos t = 0,
- cos t = -1,
Міністерство освіти РФ: http://www.ed.gov.ru/; http://www.edu.ru
Тестування online: 5 - 11 класи: http://www.kokch.kts.ru/cdo
Мережа творчих вчителів: http://it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&tmpl=com ,
Сайт Олександра Ларіна (підготовка до ЄДІ): http://alexlarin.narod.ru/ege.html
Нові технології в освіті: http://edu.secna.ru/main
Путівник «У світі науки» для школярів: http://www.uic.ssu.samara.ru
Мегаенциклопедія Кирила та Мефодія: http://mega.km.ru
сайти "Енциклопедій": http://www.rubricon.ru/; http://www.encyclopedia.ru
сайт для самоосвіти та он-лайн тестування: http://uztest.ru/
РОСІЙСЬКА ФЕДЕРАЦІЯ
ЯМАЛО-НЕНЕЦЬКИЙ АВТОНОМНИЙ ОКРУГ
ДЕПОРТАМЕНТ ОСВІТИ АДМІНІСТРАЦІЇ МІСТА ЛИСТОПАДНЯ
МУНІЦИПАЛЬНЕ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ УСТАНОВА
«СЕРЕДНЯ ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА №7
МУНІЦИПАЛЬНОЇ ОСВІТИ МІСТО ЛИСТОПАДСЬК»
Методична розробка
уроку алгебри (10 клас)
Тема: «Арккосинус числа а.
Розв'язання рівнянь cos x = a»
Учитель математики,
м.Ноябрськ
2009 р Урок вивчення нового матеріалу та первинного закріплення знань.
Відкритий урок з алгебри та початків аналізу у 10 класі.
Тема уроку: Арккосинус числа а. Розв'язання рівнянь cos x = a.
Цілі уроку:
а) запровадити поняття арккосинусу числа а;
б) виробити навичку обчислення арксинусу числа а;
в) вивести формулу коренів найпростіших тригонометричних рівнянь формулу cos x = a;
г) навчити застосовувати формулу при вирішенні найпростіших тригонометричних рівнянь;
д) вивчити окремі випадки рішеннятригонометричних рівнянь приа рівному 0, -1, 1.
а) розвивати вміння коротко, логічно, послідовно викладати думки тасудження;
б) розвивати здатність аргументувати свої твердження;
в) розвивати вміння класифікувати, порівнювати, аналізувати та робити висновки.
3.Виховні:
а) навчати навичкам планування діяльності, роботи у оптимальному темпі,
б) виховувати вміння правильно оцінювати свої здібності, результати навчальної діяльності, розвивати комунікативні навички;
в) виховувати працьовитість та цілеспрямованість.
Обладнання: комп'ютер, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал, картки з рефлексії навчальної діяльності (у кожного учня), плакат із одиничним колом.
Запис на дошці:
Кожен учень має право:
Хід уроку:
Вчитель: Здрастуйте хлопці.
Сьогодні на уроці ми навчатимемося(Слайд 1)
а) коротко, логічно, послідовно викладати думки та судження;
б) аргументувати затвердження;
в) порівнювати, аналізувати та робити висновки;
г) оцінювати результати своєї навчальної діяльності.
Ми пам'ятаємо, що кожен учень, як завжди, має право:
2.Актуалізація знань(3-4 хв)
Усний рахунок (завдання проектуються на інтерактивний екран(Слайд 2)
Вчитель | Учень |
Крапки одиничного кола, , належать якійсь чверті? | Крапки одиничного кола, , належать 1чверті? |
Косинус якого кута є величина позитивна? Висновок: Косинус гострого кута є позитивною величиною. | Якщо кут належить 1 чверті |
2. Обчислити значення: cos; cos; cos
Вчитель | Учень |
Крапки одиничного кола, , належать якійсь чверті? | Крапки одиничного кола, , належать 2 чверті. |
Косинус якого кута є величиною негативною? Висновок: Косинус тупого кута величина негативна | Якщо кут належить 2 чверті |
2.Косинус якого кута дорівнює; 0; ; 1; ; - ; -, Якщо?
3. Перевірка домашньої роботи(3-4хв) (3 учнів заздалегідь готують на дошці рішення рівнянь за допомогою одиничного кола)
1 учень
t = +2πk, де k Z ( пояснення ведеться по одиничному колу)
Відповідь: t = +2πk, де k Z .
2 учень
Немає рішення т.к. -1≤а≤1
Відповідь: немає рішень.
T = 2?k, де k Z.
Відповідь: t = 2πk, де k Z.
3 учень
t = + πk, k;
Відповідь: t = + πk, k;
t = π + 2πk, k.
Відповідь: t = π + 2πk, k .
4.Вивчення нового матеріалу(13-15 хв)
Вчитель | Учень |
Тепер вирішимо рівняння cos t =. | на дошці веде запис на основній дошці поруч із прикладом cos t = , решта учнів слухають (приклад і одиничне коло записані заздалегідь) Промовляючи алгоритм розв'язання найпростішого тригонометричного рівняння, учень вирішує рівняння за допомогою одиничного кола. t = t 1 +2?k, t = t 2 +2? k, де k Z, т.к. t 1 = - t 2, то t = ± t 1 +2πk, де k Z, |
Чи є цей записвідповіддю рішення рівняння? | Цей запис не є відповіддю рішення рівняння, тому що не визначено значення t 1. |
Вчитель: Що це за число t 1 поки невідомо, ясно тільки те, що t 1 . Зіткнувшись з такою ситуацією, математики зрозуміли, що треба вигадати спосіб її опису математичною мовою. Тому було введено на розгляд новий символ arcсosа , який читається: арккосинуса.
Запишемо тему сьогодення: «Арккосинус числа а. Розв'язання рівнянь cos t = a»(Слайд 3,4)
Вчитель | Учень |
Отже, обчислюючи арккосинус числа а, який потрібно собі запитати? | Косинус якого числа дорівнює а? |
Застосовуючи вивчене визначення, знайдіть значення виразу arccos(); arcсos() arcсos() (Слайд 5) | arccos() = arcсos() = arcсos() = |
Усі значення а належать відрізку від -1 до 0. Якій чверті належать значення арккосинусу а? | Значення arccosа належать відрізку від 0 до |
Як же обчислити значення arccos(–а)? Звернемося до підручника та знайдемо формулу, за якою обчислюється значення arccos(–а) (читаємо та виділяємо формулу).(Слайд 6) Обчислити: arccos (-); arcсos(-); arcсos(-); (Слайд 6) | arccos (-) = arсcos(- ) = arсcos(- ) = |
Усі значення (-а) належать відрізку від -1 до 0. Якій чверті належать значення arccos(-а)) ? Запишіть довідковий матеріал (слайд 6) | Значення arcсos(-а) належать відрізку віддо π Учні записують формулу у зошит. |
Закріплення та відпрацювання поняття арккосинус числа а та алгоритму його обчислення (фронтальна робота з класом)
Обчислюємо за слайдом на інтерактивній дошці
Завдання |
Знайти значення виразу:(Слайд 7) а) arccos () - arccos (-) + + arcos1 |
б) 2arccos 0 + 3 arccos 1 – arcos (-) (Слайд 8) |
5. Самостійна робота (з наступною самоперевіркою)(Слайд 9)
2 людини працюють біля дошки самостійно, інші працюють у зошитах, потім перевіряють правильність виконання. Ті, хто працював із домівкою завданням, біля дошки пишуть налисточка, потім здають їх на перевірку
Вчитель | Учень |
Повернемося до рівняння cos t =. яке вирішувала…. Знаючи поняття арккосинусу, тепер ми можемо записати відповідь рішення цього рівняння в такий спосіб. cos t =. t = ± arccos + 2πk , де k Z . Відповідь: t = ± arccos + 2πk , де k Z Ми вирішили рівняння двома способами: за допомогою одиничного кола та за допомогою формули. | Записують у зошиті рішення за вчителем |
Отже, запишемо довідковий матеріал і виділимо його рішенням рівняння(Слайд 10) cos t = a де а . t = ± arcсos а + 2πk, k. Відповідь: t = ± arcсos а + 2πk, k . | Записують у зошиті модель рішення рівняння за вчителем |
6. Закріплення вивченого матеріалу(13хв)
№ 15.5 (б, г), 15.6 (а, б).
(2 учні працюють індивідуально біля дошки)
1 уч.: а) cos t =; б) cos t = -;
2 уч: а) cos t =; б) cos t =. ( звернути увагу на цей приклад, виконуючи оцінку числа)
Розв'яжіть рівняння:
№15.5(б,г)
б) cos t =.
г) cos t =;
15.6 (а, б)
а) cos t = 1; (звернути увагу на відповідь та виділити окремі випадки)
б) cos t = -
7. Підбиття підсумків уроку (рефлексія).(3-4хв)
(Усна фронтальна робота з класом)
Вчитель | Учень |
Які нові поняття ви вивчили на уроці? | Ми дізналися нове поняття арккосинусу. |
Який новий спосіб розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь ми розглянули на уроці? | За допомогою формул |
Ще раз уважно перегляньте записаний нами довідковий матеріал. Закрийте зошити, візьміть тест на партах, кожен свій варіант та заповніть перепустки. На цю роботу у вас є 3 хвилини (взаємоперевірка) (після 3 хвилин роботи учні змінюються листочками і перевіряють правильність, відповіді проектуються на інтерактивну дошку)(чорним шрифтом виділено пропущені місця тесту) | Виконують тест (Слайд 11) |
Зараз ви визначили прогалини у своїх знаннях і прошу вдома на це звернути увагу. |
8.Домашнє завдання (диференційоване)(1хв) (Слайд 12)
Вчителів: Ми вивчили навчальний матеріал обов'язкового рівня та вирішували завдання рівня В тестування у форматі ЄДІ, в той же час вам запропоновано вирішити тригонометричні рівняння, що наводяться до найпростіших
§16, №15.3, 15.4,15.5(в,г), 15.6(в,г), *15.12
Попередній перегляд:
Обчислити: а rc з os - arc з os + + а rc з os 1 =
Обчислити: 2) 2 а rc з os 0 + 3 arc з os 1 - arc з os =
Самостійна робота № 15.1(а,б,в), 15.2(в,г)
cos t = a , де а ? [-1; 1] t = ± arc з os а + 2 k, k ? (б), 15.5(г), 15.6(а)
1 варіант 2 варіант Якщо а ? [-1; 1], то arc з os а - таке число з відрізка [0; π], косинус якого дорівнює а. якщо в ? [-1; 0], то arc з os в ? якщо а ? [-1; 1], то рівняння cos t = а рішень не має якщо cos t = 1, то t = 2? ; якщо а , то ar з cos а якщо а , то ar з cos (-а) = π - ar з cos а якщо cos t = 0, то t = + π k , k ϵ Z ; якщо а ? [-1; 1], то рівняння cos t = а має рішення t = ± arc з os а + 2? k , k? Z
Домашнє завдання §16, №15.3, 15.4, 15.5(в,г), 15.6(в,г), *15.12
Дякую за урок
Якщо | а | 1, то рівняння cos t = а не має дійсних коренів
Часті випадки якщо cos t = 1 , то t = 2 π k , k Z коли cos t = -1 , то t = π + 2 π k , k Z якщо cos t = 0 , то t = + π k , k ϵ Z
Арккосинус числа а . Розв'язання рівнянь cos x = a .
Предмет:алгебра та початку аналізу
Клас: 10.
Тема урока:Арккосинус числа а. Розв'язання рівнянь cos x = a .
Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу та первинного закріплення знань.
Обладнання: комп'ютер, інтерактивна дошка, роздатковий матеріал, картки з рефлексії навчальної діяльності (у кожного учня), плакат із одиничним колом.
Цілі:
Навчальні : запровадити поняття арккосинусу числа а; виробити навичку обчислення арксинусу числа а; вивести формулу коренів найпростіших тригонометричних рівнянь формулу cos x = a ; навчити застосовувати формулу під час вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь; вивчити окремі випадки розв'язання тригонометричних рівнянь при арівному 0, - 1, 1.
Розвиваючі : розвивати вміння коротко, логічно, послідовно викладати думки та судження; розвивати здатність аргументувати свої твердження; розвивати вміння класифікувати, порівнювати, аналізувати та робити висновки.
Виховні : навчати навичок планування діяльності, роботи в оптимальному темпі; виховувати вміння правильно оцінювати свої можливості, результати навчальної діяльності; розвивати комунікативні навички; виховувати працьовитість та цілеспрямованість.
Хід уроку.
1. Організаційний момент , 2 хв.
Вчитель. Здрастуйте хлопці. Сьогодні на уроці ми навчатимемося. (Слайд 1)
а) коротко, логічно, послідовно викладати думки та судження;
б) аргументувати затвердження;
в) порівнювати, аналізувати та робити висновки;
г) оцінювати результати своєї навчальної діяльності.
Ми пам'ятаємо, що кожен учень, як завжди, має право (запис на дошці):
висловлювати свою думку і бути почутим;
самостійно планувати домашню самопідготовку;
знати більше вчителя та відстоювати свої гіпотези.
2. Актуалізація знань , 3-4 хв.
Усний рахунок.
Завдання проектуються на інтерактивний екран. (Слайд 2 )
1. Обчислити значення:cos ; cos ; cos .
,,належать якійсь чверті?Крапки одиничного кола ,,належать 1 чверті?
Косинус якого кута є величина позитивна?
Якщо кут належить 1 чверті.
Висновок. Косинус гострого кута є позитивною величиною.
2. Обчислити значення:cos ; cos ; cos .
,,належать якійсь чверті?Крапки одиничного кола ,,належать 2 чверті.
Косинус якого кута є величиною негативною?
Якщо кут належить 2 чверті.
Висновок. Косинус тупого кута величина негативна.
3. Косинус якого кута дорівнює; 0; ; 1; ; –; –, якщо
?
3. Перевірка домашньої роботи , 3-4хв.
3 учнів заздалегідь готують на дошці рішення рівнянь. Пояснення ведеться по одиничному колу.
1 учень
cos t = ,
t
=
+ 2πk
, деk
Z
.
Відповідь:
t
=
+ 2πk
,
деk
Z
.
2 учень
cos t = 1,5,
немає рішення т.к. – 1≤ а ≤1.
Відповідь: немає рішень .
cos t = 1,
t = 2 π k , деk Z .
Відповідь : t = 2πk , деk Z .
3 учень
cos t = 0,
t = + π k , деk Z .
Відповідь: t = + π k , k Z .
cos t = – 1,
t = π + 2πk , деk Z .
Відповідь: t = π + 2πk , деk Z .
4. Вивчення нового матеріалу , 13-15 хв.
cos t = .На дошці веде запис на основній дошці поруч із прикладомcos t = , решта учнів слухають. Приклад та одиничне коло записані заздалегідь.
Промовляючи алгоритм розв'язання найпростішого тригонометричного рівняння, учень вирішує рівняння за допомогою одиничного кола.
t = t 1 +2πk ,
t = t 2 +2πk , деk Z .
Т.к.t 1= – t 2, тоt = ± t 1 +2πk , деk Z .
Чи є цей запис відповіддю рішення рівняння?
Цей запис не є відповіддю рішення рівняння, тому що не визначено значення t 1 .
Вчитель.
Що це за число t
1
поки невідомо, зрозуміло тільки те, що t
1
. Зіткнувшись з такою ситуацією, математики зрозуміли, що треба вигадати спосіб її опису математичною мовою. Тому було введено на розгляд новий символ arc
зos
а, який читається: арккосинус а.
Запишемо тему сьогоднішнього уроку: «Арккосинус числаа . Розв'язання рівняньcos t = a ».
(Слайди 3, 4)
Вчитель. Сьогодні на уроці ми вивчимо поняття арккосинус числа а, навчимося його обчислювати та застосовувати при вирішенні найпростіших тригонометричних рівнянь. (Слайд 3)
Arcusу перекладі з латинської означає дугапорівняйте зі словом арка. Символ arc сos а, введений математиками, містить знак (arc ) , зos а- Нагадування про вихідну функцію. (Слайд 4)
Відкриваємо підручник на стор.89 та читаємо визначення арккосинусу.
Учні відкривають підручник та читають за книгою визначення, виділяючи головне.
Закріплення та відпрацювання поняття арккосинус числа а та алгоритму його обчислення.
Фронтальна робота із класом.
Косинус якого числа дорівнює а?
Застосовуючи вивчене визначення знайдіть значення виразу:
arccos ( ); arc зos ( ); arc зos ( ).
(Слайд 5)
arccos ( ) = ;
arc зos ( ) = ;
аrc зos ( ) =
Усі значення а належать відрізку від – 1 до 0. Якій чверті належать значення арккосинусу а?
Значення arcos аналежать відрізку від 0 до .
А як же обчислити значення arccos (-а)? Звернемося до підручника та знайдемо формулу, за якою обчислюється значення arcos (– а) (Читаємо та виділяємо формулу).
Обчислити: arccos (– ); arc зos (– );
аrc зos (– ). (Слайд 6)
arccos (– )= ;
аr зcos (– ) = ;
аr зcos (– ) =
Усі значення (-а)належать відрізку від – 1 до 0. Якій чверті належать значення arccos (-а)?
Напишіть довідковий матеріал. (Слайд 6)
Значення arc зos (-а)належать відрізку від до π .
Учні записують формулу у зошит.
Обчислюємо за слайдом на інтерактивній дошці.
Завдання.Знайти значення виразу:
а) arccos ( ) – arccos (– ) + + arcos 1; ( Слайд 7)
б) 2arccos 0 + 3 arccos 1 – arcos (– ) ( Слайд 8)
5. Самостійна робота (з наступною самоперевіркою). (Слайд 9)
2 людини працюють біля дошки самостійно, інші працюють у зошитах, потім перевіряють правильність виконання. Ті, хто працював із домівкою завданням, біля дошки пишуть на листочка, потім здають їх на перевірку.
cos t = , яке вирішувала…. Знаючи поняття арккосинусу, тепер ми можемо записати відповідь рішення цього рівняння в такий спосіб.cos t =.
Урок до розділу: «Тригонометричні рівняння», 10 клас
Тема уроку: «Рівняння cos х = а».
Тип заняття : формування нових знань, умінь та навичок
Цілі уроку:
освітня
розглянути рішення найпростіших тригонометричних рівнянь типуcosx=a.
виховна
виховувати навички культури праці;
розвиваючі
розвивати почуття відповідальності та навички самостійної праці та самоконтролю;
розвивати логічне мислення;
виробляти вміння класифікувати та узагальнювати;
розвивати вміння ставити запитання.
Устаткування :
інтерактивна дошка з мультимедійним проектором та комп'ютером,таблиці з формулами, презентація.
Завдання уроку:
1). Учні повторюють основні поняття теми.
2). Учні розв'язують рівняння типу cos х = а.
Методичні прийоми: прийом кластера («грона»), прийом «Чи вірите ви?» (На стадії виклику), «просунута лекція» (стадія осмислення), коментоване рішення рівнянь, самостійна робота учнів (стадія рефлексії).
Урок було дано з використанням елементів технології критичного мислення.
Урок у технології критичного мислення має трифазну структуру:
Виклик;
Осмислення (реалізація);
Рефлексія.
Хід уроку :
Стадія виклику
I. Урок починається із запитання до класу: «На дошці записана тема нашого уроку. На які питання ви хотіли б отримати сьогодні відповіді?
Під час обговорення на дошці з'являється схема (кластер):
cos х = а.
назварівняння
способи
рішення
застосування
загальна
формула
приватні
випадки
П. Робота з таблицею «Чи вірите Ви, що...?», («Чи правильно, що …?»):
1). Рівнянняcos х = а має нескінченно багато коренів;
2). cos х – абсцису точки одиничного кола;
3). На відрізку [о;π] рівнянняcos х = ½ має 1 корінь;
4). arccos a - кут із проміжку [-π /2; π/2], косинус якого дорівнюєа (| а |≤1);
5). arccos(-а) = π - arccos а;
6). Рівнянняcos х = 1; cos х = -1; cos х = 0 має одну серію коренів?
У питання спеціально включені неправильні формулювання.
Учні працюють у парах, заповнюючи графу (1) таблиці («+» - так; «» - ні). Потім без обговорення на дошці заповнюється та сама графа (1) таблиці «Чи вірите Ви, що...?». Картки із таблицею лежать на кожній парті.Осмислення
ІІІ. "Просунута лекція".
Завдання: учні, що сидять на I варіанті, стежать за кластером (схемою), учні, які сидять на II варіанті, пишуть короткий конспект лекції.
a)cos х - абсцису точки одиничного кола, отриманого поворотом точки Р 0 (1;0) на кутх довкола початку координат.
Т. е., приа меншим, ніж-1 та більшому, ніж1 , рівняння cos x = а не має коріння. Розв'яжемо рівнянняcos х = 3/2. ( Відповідь: коріння немає).
б). Розв'яжемо рівнянняcos x = 1/2.
π /3 + 2 π k , k є Z.
-π /3 + 2 π k , k є Z.
Відповідь: ± π/3 + 2 π k , k є Z .
Рівнянняcos х = 1/2 має нескінченно багато коренів, але на відрізку це рівняння має 1 коріньπ /3, який називаютьarccos 1/2 .
Записують:arccos 1/2 = π /3.
в) аналогічно розв'яжемо рівняння:
cos x = a , де | а|≤1:
arccos a
- arccos a
Відповідь: x = ± arccos a + 2 π k, k є Z.
Нагадаємо, що arccos (-a) = π - arccos a.
arccos (- а ) arccos (- а )
г). окремі випадки:
1). cos x = 1Відповідь:
x = 2π k , k є Z .
2). cos x = - 1
Відповідь:
x = π + 2π k , k є Z .
3). cos x = 0
Відповідь:
x = π/2 + π k , k є Z .
IV. Робота в парах із кластером та таблицею «Чи правда, що...?». Чотири пари працюють із кластером, інші з таблицею (заповнюється графа 2).
На роботу дається 2 хвилини, ще 5 хвилин на перевірку, обговорення та оформлення на дошці. При перевірці таблиці (вона викреслена на дошці) порівнюються отримані знання з вихідними та виділяються яскравим кольором правильні відповіді.
Рефлексія
V . Тепер, коли отримано формули коренів тригонометричного рівнянняcos х = а , учні коментують і вирішують на дошці рівняння:
1). зos 5x = 1
2). 3cosх/3 = 2
3). cos 7x = 5
Самостійна робота учнів:
1). 2 cos 3 x = -1,
2). 2cos (x +π / 3) = -1,
3). (2cos x + 1) (cos 3x -3) = 0,
4). зos 2 x(2 cosx + 2) = 0.